कक्षा : 10 गणित वास्तविक संख्याएँ

गणित
कक्षा : 10
वास्तववक संख्याएँ
अध्याय : 1
ç’ukoyh 1.1
ç’u 1:
निम्िलिणित संख्याओं का HCF ज्ञात करिे के लिए य
ू
क्लिड ववभाजि
एल्गोररथ्म का प्रयोग कीक्जएः
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
हि:
(i 135 225 )
1:
225 135, 225 135
225 135 1 90
2:
90 0, 135 90
135 90 1 45

=  +

=  +
vkSj
i n
pw¡fd vkSj i j foHkkt u i zesf; dk dk i z; kxs djr sgSA
i zkIr djr sgSA
i n
pw¡fd ‘k”skQy vkjS i j foHkkt u i zesf; dk yxkr sgSA
i zkIr djr sgSA
=  +
3:
90 45
90 2 45 0
45
135
i n
ge u; sHkkt d vkjS u; s’ks”kQy dk syrs sgSa vkSj
foHkkt u i zesf; dk yxkdj i zkIr dj yrs sgSA
vc ‘k”skQy ‘kUw; gk st krk gS] bl fy, i fzØ; k #d t krh gSA
pf¡wd bl voLFkk esa Hkkt d gS]
v kSj dk e- l – gAS 225 45
( )

=  +
ii 196 38220
1:
38220 196, 38220 196
38220 196 195 0
196
196
vkjS
i n
p¡wfd vkjS d sfy, foHkkt u i ezsf; dk yxkdj ge
i zkIr djr sgaSA
pw¡fd ‘ks”kQy ‘kwU; gS] bl fy, i fzØ; k #d t krh g S
bl voLFkk esa Hkkt d gSA
bl fy, vkjS dk e- l – gAS 38220 196
( )

=  +

=  +
iii 867 255
1:
867 255, 867 255
867 255 3 102
2:
102 0,
255 102
255 102 2 51
vkSj
i n
pw¡fd vkjS d sfy, foHkkt u i zefs; dk yxkdj ge
i kzIr djr sgSaA
i n
p¡fwd ‘ks”kQy
vkSj i j foHkkt u i zefs; dk yxkdj ge
i kzIr djr sgaS
=  +
3:
102 51
102 51 2 0
51
867 255
A
i n
ge u; sHkkt d vkjS u; s’ks”kQy i j fopkj djr sgSaA
foHkkt u i ezfs; dk yxkdj
i kzIr djr sgaSA
pw¡fd ‘ks”kQy ‘kwU; gS] bl fy, i fzØ; k #d t krh g S
bl voLFkk esa Hkkt d gAS
bl fy, vkjS 51 dk e- l – gAS
ç’u 2:
दर्ााइए कक कोई भी धिात्मक ववषम प
ू
िाांक 6q + 1 या 6q + 3 या
6q + 5 के रूप का होता है, जहां q कोई प
ू
िाांक है।
हि:
=
= + 
 
= + + + + +
+ =  + = + 1
1
a 6
6 0
0 6
6 or 6 1 or 6 2 or 6 3 or 6 4 or 6 5
6 1 2 3 1 2 1,
b
a q r q
r
a q q q q q q
q q k
k
ekuk , d /kukRed i .wkkaZd g SvkSj
;wfDyM dh i zefs; dk l s] gesa i zkIr gksrk gS
fdl h i w.kkZad d sfy,
vkSj
bl fy, ]
rFkk
t gk¡
( ) ( )
( ) ( )
=
+ = + + = + + = +
= +
+ = + + = + + = +
= +
+ + + +
+ + +
2
2
3
3
3 .
6 3 6 2 1 2 3 1 1 2 1,
3 1
6 5 6 4 1 2 3 2 1 2 1,
3 2
6 1, 6 3, 6 5, (2 1)
6 1, 6 3, 6 5, 2
q
q q q k
k q
q q q k
k q
q q q k
k
q q q
t gk¡
t gk¡
Li “Vr% #i d sgSaA
t gk¡ , d i w.kkaZd gAS
bl fy, ] l sHkkT; ugh gAS
vkSj bl fy, ;
6 1, or 6 3, or 6 5 q q q + + +
sfo”ke l a[; kvksa dk sfu#fi r djr sgSA
bl i zdkj] dksbZ Hkh fo”ke i .wkkZad
d s#i eas fu#fi r fd; k t k l drk gAS
ç’u 3:
ककसी परेड में 616 सदस्यों वािी एक सेिा (आमी) की टु
कडी को 32
सदस्यों वािे एक आमी बैंड के पीछे मार्ा करिा है। दोिों सम
ूहों को
समाि संख्या वािे स्तंभों में मार्ा करिा है। उि स्तंभों की अधधकतम
संख्या लया है, क्जसमें वे मार्ा कर सकते हैं?
हि:
( )
=  +
=  +
616 32
616 32 19 8
32 8 4 0
616, 32 8
8
vkSj dk e- l – mu vf/kdre LrEHkkas dh l a[; k nsxk ft uesa i zR; sd l ewg
ekpZ dj l drk gSA
;wfDyM i zesf; dk l ]s geas i kzIr gkrsk gSA
vkSj
dk e- l – gSA
bl fy, ] i zR; sd l egw LrEHkkas esa ekpZ dj l drk gAS
ç’u 4:
य
ू
क्लिड ववभाजि प्रमेनयका का प्रयोग करके दर्ाांए कक ककसी धिात् मक
प
ू
िाांक का वगा, ककसी प
ू
िाांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का
होता है।
[संके त: यह माि िीक्जए x कोई ध्िात्मक प
ू
िाांक है। तब, यह 3q, 3q +
1 या 3q + 2 के रूप में लििा जा सकता है। इिमें से प्रत्येक का वगा
कीक्जए और दर्ााइए कक इि वगों को 3m या
3m +1 के रूप में लििा जा सकता है। ]
हि:
=
 = +
+ +
=
2 2 2
3
0 3
0, 1 2
3 3 1 3 2
9 or (3q+1)
a b
q a q r
a q q q
a q
ekuk dkbs Z/kukRed i .wkkaZd g SvkSj ; fwDyM dh i zefs; dk l s
fdl h i w.kkZad d sfy, vkSj
l EHko ‘ks”k vkSj gAS bl fy, ]
dks ; k ; k fy[kk t k l drk gSA
bl fy, ]
+
= + + + +
=  + + + + +
= + +
2
2 2 2
2 2 2
1 2 3
1 2 3
or (3 2)
9 or (9 6 1) or (9 12 4)
3 (3 ) or 3(3 2 ) 1 or 3(3 4 1) 3
3 or 3 1 or 3 4
,
3m
q
q q q q q
q q q q q
k k k
t gk¡ vkSj /kukRed i .wkkZad gSaA k k k
bl fy, ] /kukRed i .wkkZad ox Z; k rk s d s#i d 3m + 1
m
k g S; k d s#i dk g S
t gk¡ dkbs Zi .wkaZd gAS
ç’u 5:
य
ू
क्लिड ववभाजि प्रमेनयका का प्रयोग करके दर्ााइए कक ककसी धिात्मक
प
ू
िाांक का घि 9m, 9m+1 या 9m+ 8 के रूप में होता है।
हि:
= +
  
= + +
=
= = = =
3 3 3 3
a 3
q 0 0 3
3 3 1 3 2
: 3 ,
(3 ) 27 9(3 ) 9
a q r
r
a q q q
a q
a q q q m
m
1
ekuk /kukRed i w.kkZad g SvkSj
t gk¡ vkjS
bl fy, ]
; k ; k
bl fy, ] , d i .wkkaZd dk sbu rhuksa esa fy[ kk t k l drk gSA
t c rc
t gk¡ , d i .wk
fLFkfr
( )
=
= +
= +
 = + + +
 = + + +
 = +
= + +
= +
= +
 = + + +

3
3 3
3 3 2
3 3 2
3
3 2
3 3
3 3 2
3
: 3 1,
(3 1)
27 27 9 1
9 3 3 1
9 1
(3 3 )
: 3 2,
(3 2)
27 54 36 8
m q
a q
a q
a q q q
a q q q
a m
m m q q q
a q
a q
a q q q
2
3
kaZd g SvkjS
t gk¡ rc
t gk¡ dkbsZ i .wkkZd bl i dzkj g Sfd
t gk¡ rc
fLFkfr
fLFkfr
= + + + ( )
 = +
= + +
+ +
3 3 2
3
3 2
9 3 6 4 8
9 8
(3 6 4 )
9 , 9 1, 9 8
a q q q
a m
m m q q q
m m m
t gk¡ dkbs Zi .wkkdZ bl i zdkj g Sfd
bl fy, ] fdl h /kukRed i w.kkaZd dk ?ku ; k d s#i
dk gksrk gAS
ç’ukoyh 1.2
ç’u 1:
निम्िलिणित संख्याओं को अभाज्य ग
ु
िििंडों के ग
ु
ििफि के रूप में
व्यलत कीक्जएः
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
हि:
=    =  
=    =  
=     =  
=   
=  
2
2
2 2
(i) 140 2 2 5 7 2 5 7
(ii) 156 2 2 3 13 2 3 13
(iii) 3825 3 3 5 5 17 3 5 17
(iv) 5005 5 7 11 13
(v) 7429 17 19 23
ç’u 2:
प
ू
िाांकों के निम्िलिणित य
ु
ग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीक्जए तथा
इसकी जाँर् कीक्जए कक दो संख्याओं का ग
ु
ििफि =HCF × LCM है।
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
हि:
( )
= 
= 
  =
 =   
=   
= 
=   
=  
    = 2
(i)
26 2 13
91 7 13
26 91 = 13
26 91 = 2 7 13 182
26 91 2 13 7 13
2 13 7 13
(ii)
510 2 3 5 17
92 2 2 23
510 92 = 2
510 92 = 2 3 5 17 23 23460
vkjS dk e- l –
vkjS dk y- l –
vc]
y- l – e- l
vkSj dk e- l –
vkSj vkjS dk y- l
( )

 =      
=     
= 
510 92 2 3 5 17 2 2 23
2 3 5 17 23 2
vc]
y- l – e- l
( )
=      =  
=    = 
=  =
=   =
 =    
=    
= 
4
3
4 3
4 3
4 3
(iii)
336 2 2 2 2 3 7 2 3 7
54 2 3 3 3 2 3
336 54 2 3 6
336 54 2 3 7 3024
336 54 2 3 7 2 3
2 3 7 2 3
vkSj dk e- l –
vkSj
vkjS dk y- l –
vc]
y- l – e- l
ç’u 3:
अभाज्य ग
ु
िििंडि ववधध द्वारा निम्िलिणित प
ू
िाांकों के HCF और
LCM ज्ञात कीक्जए।
(i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25
हि:
= 
= 
= 
=
=    =
= 
= 
= 
=
=   =
2
2
(i)
12 2 3
15 3 5
21 3 7
3
2 3 5 7 420
(ii)
17 1 17
23 1 23
29 1 29
1
17 23 29 11339
e- l –
y- l –
e- l –
y- l –
=
=
=
=
=   =
3
2
2
3 2 2
(iii)
8 2
9 3
25 5
1
2 3 5 1800
e- l –
y- l –
ç’u 4:
HCF (306, 657) = 9 ददया है, LCM (306, 657) ज्ञात कीक्जए।
हि:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
 = 
  = 
   = =
=
, ,
306, 657 306, 657 306 657
306 657 306 657 306, 657
306, 657 9
22338
a b a b a b
ge t kur sgaS fd
dk e- l – dk y- l –
dk e- l – dk y- l –
dk y- l –
dk e- l –
ç’u 5:
जाँर् कीक्जए कक लया ककसी प्राक
ृत संख् या n के लिए संख् या 6
n अंक 0
पर समाप् त हो सकती है।
हि:
n n
n
0 10
2 5 10 = 2 × 5
6 = (2 ×3)
5, 6
vad i j l ekIr gkus sokyh l a[; k l sHkh HkkT; gksuh pkfg,A
; g vkSj l sHkh HkkT; gksxh
D; ksfd]
d svHkkT; x.qku[kaM
; gk]¡ ge i zkIr djr sg Sfd dk vHkkT; xq.ku[kaM ugha gS
n
n
n 6 , 5
n 6
A
bl fy, ] d sfdl h eku d sfy, l sHkkT; ugh gkxskA
bl fy, ] fdl h i kzd`r l a[; k d sfy, ‘kwU; i j l ekIr ugh gk sl drk gAS
ç’u 6:
व्याख्या कीक्जए कक 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3
× 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ लयों हैं।
हि:
  + =   +
=  +
= 
=   
7 11 13 13 13 (7 11 1)
13 (77 1)
13 78
13 13 2 3
fn; k gvqk O; at d , d HkkT; l a[; k g SD; ksfd bl d srhu x.qku[kaM vkjS gaSA 2, 3 13
      + =       +
=  +
= 
7 6 5 4 3 2 1 5 5 (7 6 4 3 2 1 1)
5 (1008 1)
5 1009
1009
vc]
dk svkx sx.qku[kafMr ugha fd; k t k l drk gAS
bl fy, ] fn; sg,q O; at d d sx.qku[akM vkSj gaSA 5 1009
bl fy, ] ; g HkkT; l a[; k gAS
ç’u 7:
ककसी िेि के मैदाि के र्ारों ओर एक वत्त
ृ
ाकार पथ है। इस मैदाि का
एक र्लकर िगािे में सोनिया को 18 लमिट िगते हैं, जबकक इसी
मैदाि का एक र्लकर िगािे में रवव को 12 लमिट िगते हैं। माि
िीक्जए वे दोिों एक ही स्थाि और एक ही समय पर र्ििा प्रारंभ
करके एक ही ददर्ा में र्िते ह।ैं ककतिे समय बाद वे प
ु
िः प्रांरलभक
स्थाि पर लमिेंगे?
हि:
1
1
oÙ`kkdkj i Fk dk pDdj yxku seas jfo] l ksfu; k l sde l sde l e; ysrk gSa A o s,d gh fn’kk esa
t k jg sgSa] bl fy, t c jfo pDdj i jwk dj yxsk rk sml h l e; o sfQj feysaxAs
o`Ùkkdkj i Fk dk ,d pDdj i wjk dju seas fy; k x; k dyq l e; feuV vkjS feuV 18 12
dk y- l – gkxskA
18 = 2 × 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3
12 18 = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
36
vkjS]
vkSj dk y- l –
bl fy, ] feuV ckn jfo vkjS l kfsu; k , d nlwj sdk si zkjfHHkd fcUnq i j feyasxas A
ç’ukoyh 1.3
ç’u 1:
लसद्ध कीक्जए कक
5
एक अपररमेय संख्या है।
हि:
(  )
=
5
a b 0
5
a b 1
a b
5b=a
b
a
b
ekuk , d i fjes; l a[; k gSA
bl fy, ge vkjS i .wkkZad bl i zdkj i zkIr l dr sg Sfd
ekuk vkjS dk d svfrfjDr dksb ZmHk; fu”B xq.ku[kaM ugha g SvkjS
ekfu, vkjS l g vHkkT; gaSA
bl fy, ]
nkuskas i {
=
2 2 5b a
kksa dk oxZ dju si j] gesa i zkIr gkrsk gSA
=
2 a , 5 a 5
a c c 5
bl fy, ]
l sHkkT; g SvkSj bl fy, Hkh l sHkkT; gSA
bl fy, ge fy[k l dr sgaS fd fdl h i w.kkaZd d sfy, ]
=
 =
 =
2 2
2 2
2 2
2
5
5 25
5
b ,5 b
5
a b 5
a b
b a
b c
b c
vc]
bl dk vFk Zg Sfd l sHkkT; g SvkSj Hkh
l sHkkT; gS
bl fy, ]
vkjS esa de l sde , d mHk; fu”B xq.ku[kaM gAS
ysfdu ; g ml l e; dk fojk/skkHkkl g Sfd vkSj l g vHkkT; gaSA
bl 5
5
fy, ] gekjh dYi uk fd , d i fje;s gS] =qfVi .wk ZgAS
bl fy, ] vi fjes; gAS
ç’u 2:
लसद्ध कीक्जए कक
3 2 5 +
एक अपररमेय संख्या है।
हि:
+

+ =
 = −
   = −    
3 2 5
a b (b 0)
3 2 5
2 5 3
1
5 3
2
a
b
a
b
a
b
ekuk , d i fje;s l a[; k gAS
vFkkrZ ge vkSj l g vHkkT; bl i zdkj i zkIr dj l dr sg Sfd
 
−    
+
+
1
3 a b
2
5
3 2 5
3 2 5
a
b
, d i fje;s l a[; k g SD; ksfd vkSj i w.kkaZd gAS
vkjS bl fy, , d i fje;s l a[; k g St k sfd fojk/skkHkkl gAS
bl fy, ] gekjh dYi uk fd i fjes; gS] xyr gSaA
bl fy, ] vi fjes; gAS
ç’u 3:
लसद्ध कीक्जए कक निम्िलिणित संख्याएँ अपररमेय हैं:
( ) ( ) ( ) +
1
i ii 7 5 iii 6 2
2
हि:
=
 =
1
(i)
2
1

2
1
, a b
2
2
2
1

2
a
b
b
a
ekuk i fje;s g]S rc
t gk¡ vkSj l g vHkkT; gSA
bl fy, ] i fje;s g St k sfd fojk/skkHkkl gAS
bl fy, gekjh dYi uk xyr gSA
bl fy, ] vi fjes; gAS
=
 =
(ii) 7 5
7 5
7 5 , a b
5
7
5
7 5
a
b
a
b
ekuk i fjes; g]S rc
t gk¡ vkjS l g vHkkT; gAS
bl fy, ] i fjes; g St k sfd fojk/skkHkkl gAS
bl fy, gekjh dYi uk xyr gSA
bl fy, ] vi fjes; gAS
+
+
+ =
 = −
+
(iii) 6 2
6 2
6 2 , a b
2 6
2
6 2
a
b
a
b
ekuk i fjes; gS] rc
t gk¡ vkjS l g vHkkT; gSA
bl fy, ] i fje;s g St k sfd fojk/skkHkkl gSA
bl fy, gekjh dYi uk xyr gSA
bl fy, ] vi fjes; gAS
ç’ukoyh 1.4
ç’u 1:
बबिा िंबी ववभाजि प्रकिया ककए बताइए कक निम्िलिणित पररमेय
संख्याओं के दर्मिव प्रसार सांत है या असांत आवती है।
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
13 17 64 15 i ii iii iv
3125 8 455 1600
29 23 129 6 v vi vii viii
343 15 3 2 775 2 5 2 5 7
35 77 ix x
50 210
हि:
( )
=

= 5
i
13 13
3125 125 25
13
5
2 5
13

3125
m n ; gk¡ gj d s#i dk gAS
bl fy, ] dk l kar n’keyo i zl kj gAS
( )
= 3
ii
17 17
8 2
2 5
17

8
m n ; gk¡ gj d s#i dk gSA
bl fy, ] dk l kar n’keyo i zl kj gAS
( )
=
 
iii
64 64
455 5 7 13
2 5
64

455
m n ; gk¡ gj d s#i dk ugh gSA
bl fy, ] dk vl kar vkorh Zn’keyo i lzkj gAS
( )

= =
  6 2 6 1
iv
15 3 5 3
1600 2 5 2 5
2 5
15

1600
m n ; gk¡ gj d s#i dk gAS
bl fy, ] dk l kar n’keyo i zl kj gAS
( )
= 3
v
29 29
343 7
2 5
29

343
m n ; gk¡ gj d s#i dk gSA
bl fy, ] dk vl kar n’keyo i zl kj gAS
( )
3 2
3 2
vi
23
2 5
2 5
23
2 5
m n ; gk¡ gj d s#i dk gAS
bl fy, ] dk l kar n’keyo i zl kj gAS
( )

= 2 7 5 2 7 5
2 7 5
vii
129 43 3
2 5 7 2 5 7
2 5
129

257
m n ; gk¡ gj d s#i dk gAS
bl fy, ] dk vl kar n’keyo i zl kj gAS
( )

= =

viii
6 2 3 2
15 3 5 5
2 5
6

15
m n ; gk¡ gj d s#i dk gAS
bl fy, ] dk l kar n’keyo i zl kj gAS
( )
=

2
ix
35 35
50 2 5
2 5
35

50
m n ; gk¡ gj d s#i dk gSA
bl fy, ] dk l kar n’keyo i zl kj gAS
( )
= =
    
x
77 77 11
210 2 3 5 7 2 3 5
2 5
77

210
m n ; gk¡ gj d s#i dk gAS
bl fy, ] dk vl kar n’keyo i lzkj gAS
ç’u 2:
ऊपर ददए गए ç’u में उि पररमेय संख्याओं के दर्मिव प्रसारों को
लिणिए जो सांत हैं।
हि:
(i)
13 0.00416
3125
0.00416
3125 13000
12500
5000
3125
18750
18750
x
=
(ii)
17 2.125
8
2.125
8 17
16
10
8
20
16
40
40
x
=
( )
=
iv
15 0.009375
1600
0.0009475
1600 15000
14400
6000
4800
12000
11200
8000
8000
x
( )
= = 3 2
vi
23 23 0.115
2 5 200
0.115
200 230
200
300
200
1000
1000
x
(viii)
6 2 0.4
15 5
0.4
5 20
20
x
= =
(ix)
35 0.7
50
0.7
50 350
350
x
=
ç’u 3:
क
ुछ वास्तववक संख्याओं के दर्मिव प्रसार िीर्े दर्ााए गए हैं। प्रत्येक
क्स्थनत के लिए निधााररत कीक्जए कक यह संख्या पररमेय संख्या है या
िहीं। यदद यह पररमेय संख्या है और
p
q
के रूप की है तो q के
अभाज्य ग
ु
िििंडों के बारे में आप लया कह सकते हैं?
(i) 43.123456789 (ii) 0.120120012000120000…
(iii) 43.123456789
हि:

(i) 43.123456789
, 2 5 p m n q
q
nh gqbZ l a[; k dk l kar n’keyo i zl kj gS
bl fy, ] ; g d s#i dh i fje;s l a[; k g SvkSj
dk #i dk gAS
(ii) 0.120120012000120000…

nh gbq Zl a[; k u rk sl kar g SvkSj u vkorhZ
bl fy, ] ; g , d vi fjes; l a[; k gAS

(iii) 43.123456789

, 2 5 m n
p
q
q
nh gqbZ l a[; k vl kar vkorh ZgSA
bl fy, ] ; g d s#i dh i fjes; l a[; k gSA vkSj
d s#i dk ugha gAS