NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 – Continuity and Differentiability

NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 Continuity and Differentiability include all concepts and theories related to the said topic. Students will learn and understand how to implement these concepts. In addition, they will also learn the rigorous formulation of the intuitive concept of function that varies. With help from NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5, students can understand the complex theories and the simplest way to solve the problems.

NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 covers essential topics such as exponential and logarithmic functions. The subtopics include continuity, differentiability, logarithmic differentiation, and mean value theorem. In addition, they will engage on the core topic of the algebra of continuous functions. The chapter carries essential formulae and helps to improve their calculation. The study material is available online on Extramarks. Extramarks study material and revision notes offer solutions for all problems and answers to the questions enlisted under the chapter.

Under Continuity and Differentiability, students will easily understand the complex theorems with help from Extramarks NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5. Furthermore, as the solutions are built based on CBSE NCERT's latest 2022-2023 syllabus, students can be assured that they are up-to-date and ready to tackle anything in their examination. Students can visit the Extramarks website for the latest news and updates regarding Class 12 Mathematics Chapter 5.

Key Topics Covered In NCERT Solutions for Class 12 Mathematics Chapter 5

NCERT Solutions for Class 12 Mathematics Chapter 5 Continuity and Differentiability elaborates the fundamental concepts. It includes continuity of functions, their differentiability, and their relations. In addition, the notion of the continuity of a function is applied in various concepts and theories. Thus, students may refer to NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 to be more thorough on various concepts under the chapter. With daily practice, students can quickly gain a deep understanding of the topic. Some of the essential topics elaborated in the chapter are mainly seen repeating in various entrance exams. It includes logarithmic differentiation, derivatives of functions, and second-order derivatives.

Key topics covered in Continuity and Differentiation include

 Exercise Topics 5.1 Introduction 5.2 Continuity 5.3 Differentiability 5.4 Exponential and Logarithmic Functions 5.5 Logarithmic Differentiation 5.6 Derivatives of Functions in Parametric Forms 5.7 Second-Order Derivative 5.8 Mean Value Theorem

5.1 Introduction

The NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 covers all important topics and offers step-by-step solutions. Students will get an introduction to Continuity and Differentiability. It has advanced theorems and logarithms. They will also learn the essential concepts of continuity, differentiability, and relations. Further, they can grasp the knowledge of inverse trigonometric functions.

5.2 Continuity

This section is about continuity. There are various formulaeand concepts to study and understand. The students will engage in learning algebra of continuous functions. They will also learn analogous algebraic uninterrupted functions. The continuity of a function at a point is expected to show similar results to the case of limits. With the help of NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5, the students will learn basic definitions and theorems.

5.3 Differentiability

Differentiability includes a list of derivatives and some important theorems. It is essential to know that there are a total of three theorems that appear in competitive exams. The students will learn about the derivatives of composite, implicit, and inverse trigonometric functions. They will also get in-depth learning about derivatives of implicit function.

5.4 Exponential and Logarithmic Functions

In NCERT Solutions Class 12 Mathematics, Chapter 5 includes all important sub-topics under Exponential and Logarithmic Functions. The students will witness different classes of functions like polynomial functions, rational functions, and trigonometric functions. They will also learn about a new class of related and logarithmic functions. This exercise emphasises the exponential functions and logarithms. Several examples provided for their reference help the students grasp and understand exponential and logarithmic functions.

5.5 Logarithmic Differentiation

Students learn all essential theories in NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 Continuity and Differentiability. The students will learn to differentiate the specific class of functions given in the particular forms. Logarithmic Differentiation is an essential topic as it appears in entrance exams such as JEE Mains and JEE Advanced.

5.6 Derivatives of Functions in Parametric Forms

The students will learn about different concepts, the relation between two variables, and the third variables in this exercise. The NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 covers every problem and offers a step-by-step solution. The students will be given several examples to understand the topic better and grasp the concepts.

5.7 Second Order Derivative

The students will learn how to work with second-order derivatives and their applications in various theorems. There are more examples and solutions than theory, as this topic requires a more practical approach than a theoretical approach. These examples will help the students to get a hold of the theorems and concepts.

5.8 Mean Value Theorem

In Mean Value Theorem, students will learn the functionality of the mean value theorem and its relations to Rolle's theorem. Various examples help the students to engage with the theorem, and it's a core concept. The mean value theorem is slightly tricky. However, students can refer to NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5. It provides a step-by-step solution to an example based on the mean value theorem.

In addition to the details mentioned above, the chapter also includes formulaeand a detailed explanation of the formulae. Some of the formulaeof various functions in NCERT Solutions Chapter 5 Mathematics Class 12 include

• Arithmetic of Continuous Functions: The arithmetic operations performed on continuous functions are said to be continuous. If f and g both are continuous functions, then:

(f ± g) (x) = f(x) ± g(x) is continuous.

(f . g) (x) = f(x) . g (x) is continuous.

( f / g ) (x) = f(x ) / g(x) (wherever g(x) ≠ 0) is continuous.

• Logarithmic Functions: The logarithmic functions are also known as exponential functions. If the logarithmic function y = ax is equivalent, it is equivalent to the exponential equation x = ay.

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NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 Exercise & Answer Solutions

NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 Exercise and Answer Solutions are available for students to refer for free on the Extramarks website. The material offers step-by-step solutions that help students understand how to solve problems relating to the chapter. The solution also helps students solve complex questions in a simplified manner. Students may refer to NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 to strengthen their basics.

Students may refer to the links below to download exercise-specific questions and solutions for NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 Continuity and Differentiation:

• Chapter 5: Exercise 5.1 – 34 Questions (10 Short Questions and 24 Long Questions)
• Chapter 5: Exercise 5.2 – 10 Questions (2 Short Questions 8 Long Questions)
• Chapter 5: Exercise 5.3 – 15 Questions (9 short Questions and 6 long Questions)
• Chapter 5: Exercise 5.4 – 10 Questions (5 Short Questions and 5 Long Questions)
• Chapter 5: Exercise 5.5 – 18 Questions (4 Short Questions and 14 Long Questions)
• Chapter 5: Exercise 5.6 – 11 Questions (1 Short Question and 1 Long Questions)
• Chapter 5: Exercise 5.7 – 17 Questions (10 Short Questions and 7 Long Questions)
• Chapter 5: Exercise 5.8- 6 Questions (3 Short Questions and 3 Long Questions)

Students can also download other NCERT Solutions for all chapters of class 12 Mathematics on the Extramarks website. In addition, students can also find study material for different classes, as mentioned below.

• NCERT Solutions Class 1
• NCERT Solutions Class 2
• NCERT Solutions Class 3
• NCERT Solutions Class 4
• NCERT Solutions Class 5
• NCERT Solutions Class 6
• NCERT Solutions Class 7
• NCERT Solutions Class 8
• NCERT Solutions Class 9
• NCERT Solutions Class 10
• NCERT Solutions Class 11.

Students can click on the links to refer to the study material. In addition to the study material, Extramarks also provides sample papers and a list of important questions based on past year question papers of at least a decade. All information can be accessed for free by clicking on the link mentioned above.

NCERT Exemplar Class 12 Mathematics

The NCERT Exemplar Class Mathematics is an excellent source of information. It helps the students to get a grasp on the essential and complex concepts. Furthermore, the topics present in NCERT are important as they appear in the entrance exams. Therefore, students can refer to the exemplar to score better marks. It can be referred to especially when the exams are neat, and the student is short of time. Thus, an exemplar can save time and provide the best subject knowledge.

The Chapter 5 Class 12 Mathematics exemplar books have more information and slightly complex questions. The exemplars help the students practise more and prepare them for competitive exams such as JEE Main and JEE Advanced. Extramarks understand the importance of such CBSE and NCERT resources. Thus, students can download the exemplar from the Extramarks website.

Key Features of NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5

NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 offers proper solutions for every example problem. With the help of NCERT Solutions, the students can score more and get a proper understanding of complex theories. Some of the key features of NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 include

• Every topic in Chapter 5 Class 12 Mathematics offers an in-depth explanation that helps the students understand the concept.
• The solutions are based on the latest syllabus of the CBSE 2022-23 and aid in preparing for the examination.
• Students can expand their knowledge in the core topics and get more practice solving problems.
• The students can understand their assignments based on concepts from continuity and differentiability.
• Class 12 Mathematics Chapter 5 has some important elements that can help prepare for various competitive exams.

Students can benefit from referring to the NCERT Solutions Class 12 Mathematics Chapter 5 by clicking here.

Q.1

$\begin{array}{l}\mathrm{Prove}\mathrm{â€„}\mathrm{that}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}â€„ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=5\mathrm{x}-3â€„ \mathrm{is}\mathrm{â€„}\mathrm{continuous}\mathrm{â€„}\mathrm{at}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=0,\\ \mathrm{at}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=-3\mathrm{â€„}\mathrm{and}\mathrm{â€„}\mathrm{at}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=5.\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}\mathrm{ }\mathrm{function}\mathrm{ }\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=5\mathrm{x}-3\\ \mathrm{At}\mathrm{x}=0,\mathrm{ }\mathrm{f}\left(0\right)=5\left(0\right)-3=-3\\ \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}5\mathrm{x}-3\\ =5\left(0\right)-3\\ =-3\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\mathrm{.}\\ \mathrm{At}\mathrm{x}=-3,\mathrm{ }\mathrm{f}\left(-\mathrm{3}\right)=5\left(-\mathrm{3}\right)-3=-18\\ \underset{\mathrm{x}\to -\mathrm{3}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}5\mathrm{x}-3\\ =5\left(-\mathrm{3}\right)-3\\ =-18\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to -\mathrm{3}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(-\mathrm{3}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=-\mathrm{3}.\\ \mathrm{At}\mathrm{x}=5, \mathrm{f}\left(5\right)=5\left(5\right)-3=22\\ \underset{\mathrm{x}\to 5}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}5\mathrm{x}-3\\ =5\left(5\right)-3\\ =22\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to 5}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(5\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=5.\end{array}$

Q.2

Examine the continuity of the function
f(x) = 2x2 – 1 at x = 3.

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^{2}-1\\ \mathrm{At}\mathrm{x}=3,\mathrm{ }\mathrm{f}\left(3\right)=2{\left(3\right)}^{2}-1=17\\ \underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{lim}}2{\mathrm{x}}^{2}-1\\ =2{\left(3\right)}^{2}-1\\ =17\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(3\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 3\mathrm{.}\end{array}$

Q.3

$\begin{array}{l}\mathrm{Examine}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{following}\mathrm{â€„}\mathrm{functions}\mathrm{â€„}\mathrm{for}\mathrm{â€„}\mathrm{continuity}.\\ \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-5\left(\mathrm{b}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}-5}, \mathrm{x}\ne 3\\ \left(\mathrm{c}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^{2}-25}{\mathrm{x}+5},\mathrm{ }\mathrm{x}\ne -5\left(\mathrm{d}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\mathrm{x}-5\right|\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\left(\mathrm{a}\right) \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-5\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{evident}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{k},\\ \mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)=\mathrm{k}-5\mathrm{.}\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}-5\right)=\mathrm{k}-5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)\\ \mathrm{Hence},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{therefore},\\ \mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \left(\mathrm{b}\right) \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}-5},\mathrm{ }\mathrm{x}\ne 5\\ \mathrm{For}\mathrm{any}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{k}\ne 5\\ \mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)=\mathrm{k}-5\mathrm{.}\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}-5\right)=\mathrm{k}-5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)\\ \mathrm{Hence},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{therefore},\\ \mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \left(\mathrm{c}\right) \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^{2}-25}{\mathrm{x}+5},\mathrm{ }\mathrm{x}\ne -5\\ \mathrm{For}\mathrm{any}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{k}\ne -5\\ \mathrm{then} \mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)=\frac{\left(\mathrm{k}-5\right)\left(\mathrm{k}+5\right)}{\left(\mathrm{k}+5\right)}=\mathrm{k}-5\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to -\mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{k}-5\right)\left(\mathrm{k}+5\right)}{\left(\mathrm{k}+5\right)}\right)=\mathrm{k}-5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{k}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)\\ \mathrm{Hence},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{therefore},\\ \mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \left(\mathrm{d}\right) \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}-5|=\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}+5,\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}<5\\ \mathrm{x}-5,\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}\ge 5\end{array}\\ \mathrm{This}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{line}.\mathrm{Then},\mathrm{k}< 5\mathrm{or}\mathrm{k}=5\mathrm{or}\mathrm{k}> 5\\ \mathrm{Case}\mathrm{I}:\mathrm{c}< 5\\ \mathrm{Then},\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right) = 5-\mathrm{c}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(5-\mathrm{x}\right)\\ =5-\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{real}\mathrm{numbers}\mathrm{less}\mathrm{than}5\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{II}:\mathrm{c}=\mathrm{5}\\ \mathrm{Then},\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(5\right)\\ \mathrm{ }=\mathrm{5}-\mathrm{5}=\mathrm{0}\\ \underset{\mathrm{x}\to {5}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 5}{\mathrm{lim}}\left(5-\mathrm{x}\right)\\ =5-5=0\\ \underset{\mathrm{x}\to {5}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 5}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}-5\right)\\ =5-5=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {5}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {5}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 5\\ \mathrm{Case}\mathrm{III}:\mathrm{c}> 5\\ \mathrm{Then}, \mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right) =\mathrm{c}-\mathrm{5}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}-5\right)=\mathrm{c}-5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{real}\mathrm{numbers}\mathrm{greater}\mathrm{than}5\mathrm{.}\\ \mathrm{Hence},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{therefore},\\ \mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\end{array}$

Q.4

$\begin{array}{l}Prove\text{â€„}that\text{â€„}the\text{â€„}function\text{â€„}f\left(x\right)={x}^{n}\text{â€„}is\text{â€„}continuous\text{â€„}at\text{â€„}x=n,\\ where\text{â€„}n\text{â€„}is\text{â€„}a\text{â€„}positive\text{â€„}integer.\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) ={\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{evident}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{positive}\mathrm{integers},\mathrm{n},\mathrm{and}\\ \mathrm{its}\mathrm{value}\mathrm{at}\mathrm{n}\mathrm{is}{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}\mathrm{.}\\ \mathrm{Then},\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{n}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{n}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{n}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{n},\mathrm{where}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{integer}\mathrm{.}\end{array}$

Q.5

$\begin{array}{l}\mathrm{Is}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}\mathrm{f}\mathrm{â€„}\mathrm{defined}\mathrm{â€„}\mathrm{by}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}, \mathrm{if} \mathrm{x}\le 1\\ 5, \mathrm{if} \mathrm{x}>1\end{array}\right\\\ \mathrm{continuous}\mathrm{â€„}\mathrm{at}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=0?\mathrm{â€„}\mathrm{Atx}=1?\mathrm{â€„}\mathrm{Atx}=2?\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}, \mathrm{if} \mathrm{x}\le \mathrm{1}\\ 5, \mathrm{if} \mathrm{ }\mathrm{x}>1\end{array}\\ \mathrm{At}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{evident}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}0\mathrm{and}\mathrm{its}\mathrm{value}\mathrm{at}0\mathrm{is}0\mathrm{.}\\ \mathrm{Then},\mathrm{}\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{x}=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\\ \mathrm{At}\mathrm{x}= 1,\\ \mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}1\mathrm{and}\mathrm{its}\mathrm{value}\mathrm{at}1\mathrm{is}1\mathrm{.}\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(5\right)=5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1.\\ \mathrm{At}\mathrm{x}= 2,\\ \mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}2\mathrm{and}\mathrm{its}\mathrm{value}\mathrm{at}2\mathrm{is}5\mathrm{.}\\ \mathrm{Then},\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 2}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 2}{\mathrm{lim}}\left(5\right)=5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to 2}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(2\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 2.\end{array}$

Q.6

Find all the points of discontinuity of f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3, \mathrm{if} \mathrm{x}\le 2\\ 2\mathrm{x}-3, \mathrm{if} \mathrm{x}>2\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\text{The given function f is}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{f}\left(\text{x}\right)\text{=}\left\{\begin{array}{l}\text{2x+3,}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{if}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{x}\le \text{2}\\ \text{2x}-\text{3,}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{if}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{x>2}\end{array}\\ \text{It is evident that the given function f is defined at all}\\ \text{the points of the real line}\text{.}\\ \text{Let c be a point on the real line}\text{. Then, three cases arise}\text{.}\\ \left(i\right)c<2\\ \left(ii\right)c>2\\ \left(iii\right)c=2\\ Case\text{\hspace{0.17em}}1:\text{\hspace{0.17em}}c<2\\ Then,\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}f\left(c\right)=2c+3\\ \underset{x\to c}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to c}{\mathrm{lim}}\left(\text{2x+3}\right)=\text{2c+3}\\ \therefore \underset{x\to c}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=f\left(c\right)\\ \text{Therefore, f is continuous at all points x, such that x < 2}.\\ Case\text{\hspace{0.17em}}2:\text{\hspace{0.17em}}c>2\\ Then,\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}f\left(c\right)=2c-3\\ \underset{x\to c}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to c}{\mathrm{lim}}\left(\text{2x}-\text{3}\right)=\text{2c}-\text{3}\\ \therefore \underset{x\to c}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=f\left(c\right)\\ \text{Therefore, f is continuous at all points x, such that x > 2}.\\ \text{Case (iii) c = 2}\\ \text{Then, the left hand limit of f at x = 2 is,}\\ \underset{x\to {2}^{-}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\left(\text{2x+3}\right)=7\\ \underset{x\to {2}^{+}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\left(\text{2x}-\text{3}\right)=1\\ \therefore \underset{x\to {2}^{-}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)\ne \underset{x\to {2}^{+}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)\\ \text{Therefore, f is not continuous at x = 2}\\ \text{Hence, x = 2 is the only point of discontinuity of f}\text{.}\end{array}$

Q.7

Find all the points of discontinuity of f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}|\mathrm{x}|+3, \mathrm{if} \mathrm{x}\le -3\\ -2\mathrm{x}, \mathrm{if} -\mathbf{3}<\mathrm{x}<3\\ 6\mathrm{x}+2,\mathrm{ }\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}\ge 3\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}|\mathrm{x}|+3=-\mathrm{x}+3, \mathrm{ }\mathrm{if} \mathrm{x}\le -\mathrm{3}\\ -2\mathrm{x}, \mathrm{ }\mathrm{if}\mathrm{ }-3<\mathrm{x}< 3\\ 6\mathrm{x}+3, \mathrm{if} \mathrm{x}\ge \mathrm{3}\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }1:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{ }\mathrm{c}<-3\\ \mathrm{Then}, \mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=-\mathrm{c}+3\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(-\mathrm{x}+3\right)=-\mathrm{c}+3\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}<-3.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }2:\mathrm{ }\mathrm{c}=-\mathrm{3}\\ \mathrm{Then},\mathrm{f}\left(-\mathrm{3}\right)\mathrm{=}-\left(-\mathrm{3}\right)+3=\mathrm{6}\\ \underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(-\mathrm{x}+3\right)=-\left(-3\right)+3=6\\ \underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(-2\mathrm{x}\right)=-\mathrm{2}\left(-3\right)=6\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(-\mathrm{3}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=-3.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }3:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{ }-3<\mathrm{c}<3,\mathrm{ }\mathrm{then}\\ \mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=-2\mathrm{c} \mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(-2\mathrm{x}\right)=-2\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{in}\left(-3,3\right)\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}4:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=3,\mathrm{then}\\ \mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{L}.=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ =\underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(-2\mathrm{x}\right)\\ =-2\left(-3\right)=6\\ \mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{L}.=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ =\underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(6\mathrm{x}+2\right)\\ =6\left(3\right)+2=20\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 3\\ \mathrm{Case}5:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>3,\mathrm{then}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=6\mathrm{c}+2\mathrm{and}\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(6\mathrm{x}+2\right)=6\mathrm{c}+2\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 3\\ \mathrm{Hence},\mathrm{x}= 3\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{only}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{.}\end{array}$

Q.8

Find all the points of discontinuity of f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}, \mathrm{if} \mathrm{x}\ne 0\\ 0, \mathrm{if} \mathrm{x}=0\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}, \mathrm{ }\mathrm{if} \mathrm{x}\ne \mathrm{0}\\ 0, \mathrm{if} \mathrm{x}=0\end{array}\\ =\left\{\begin{array}{l}\frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1, \mathrm{if} \mathrm{x}>\mathrm{0}\\ 0, \mathrm{if} \mathrm{x}=\mathrm{0}\\ \frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}=\frac{-\mathrm{x}}{\mathrm{x}}=-1, \mathrm{if} \mathrm{x}<\mathrm{0}\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=-1\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(-1\right)=-1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x}< 0.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=0,\mathrm{then}\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{L}.\mathrm{at}\mathrm{x}=0\mathrm{is},\\ \mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{L}\mathrm{.}=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(-1\right)=-1\\ \mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{L}.\mathrm{at}\mathrm{x}=0 \mathrm{â€‹}\mathrm{is}\\ \mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{L}\mathrm{.}=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(1\right)=1\\ \mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{L}\mathrm{.}\ne \mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{L}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>0,\mathrm{ }\mathrm{then}\mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=1\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(1\right)=1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x}> 0.\\ \mathrm{Hence},\mathrm{x}= 0\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{only}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{.}\end{array}$

Q.9

Find all the points of discontinuity of f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{|\mathrm{x}|}, \mathrm{if} \mathrm{x}<0\\ -1, \mathrm{if} \mathrm{x}\ge 0\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{|\mathrm{x}|}=\frac{\mathrm{x}}{-\mathrm{x}}=-1, \mathrm{if} \mathrm{x}<\mathrm{0}\\ -1, \mathrm{if} \mathrm{x}\ge \mathrm{0}\end{array}\\ ⇒\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-1\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{x}\in \mathrm{R}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{any}\mathrm{real}\mathrm{number}.\mathrm{Then},\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(-1\right)=-1\\ \mathrm{And}\mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=-1\mathrm{ }\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{x}\in \mathrm{R}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has}\mathrm{no}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{.}\end{array}$

Q.10

Find all the points of discontinuity of f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}\mathrm{x}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}\ge 1\\ {\mathrm{x}}^{2}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}<1\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}\ge \mathrm{1}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}<1\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)={\mathrm{c}}^{2}+1â€‹â€‹â€‹ \mathrm{ }\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)\\ ={\mathrm{c}}^{2}+1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)=1+1=2\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)={1}^{2}+1=2\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+1\right)=1+1=2\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to 1}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}+1\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+1\right)\\ =\mathrm{c}+1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 1\\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{has}\mathrm{no}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{.}\end{array}$

Q.11

Find all the points of discontinuity of f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{3}-3, \mathrm{if} \mathrm{x}\le 2\\ {\mathrm{x}}^{2}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}>2\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}-3, \mathrm{if} \mathrm{x}\le \mathrm{2}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}>2\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)={\mathrm{c}}^{2}+1â€‹â€‹â€‹ \mathrm{ }\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)\\ ={\mathrm{c}}^{2}+1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)=1+1=2\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)={1}^{2}+1=2\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+1\right)=1+1=2\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to 1}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}+1\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+1\right)\\ =\mathrm{c}+1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 1\\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{has}\mathrm{no}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{.}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}\ge \mathrm{1}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}<1\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)={\mathrm{c}}^{2}+1â€‹â€‹â€‹ \mathrm{ }\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)\\ ={\mathrm{c}}^{2}+1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)=1+1=2\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)={1}^{2}+1=2\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+1\right)=1+1=2\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to 1}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}+1\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+1\right)\\ =\mathrm{c}+1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 1\\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{has}\mathrm{no}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{.}\end{array}$

Q.12

Find all the points of discontinuity of f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{10}-1, \mathrm{if} \mathrm{x}\le 1\\ {\mathrm{x}}^{2}, \mathrm{if} \mathrm{x}>1\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\mathrm{10}}-1,\mathrm{ }\mathrm{if} \mathrm{x}\ge \mathrm{1}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}, \mathrm{if} \mathrm{x}<1\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)={\mathrm{c}}^{10}-1â€‹â€‹â€‹ \mathrm{ }\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{10}-1\right)\\ ={\mathrm{c}}^{10}-1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=1,\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{10}-1\right)={1}^{10}-1=0\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)={1}^{2}=1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{observed}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{left}\mathrm{and}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{do}\\ \mathrm{not}\mathrm{coincide}.\mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)={\mathrm{c}}^{2}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)\\ ={\mathrm{c}}^{2}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 1\\ \mathrm{Thus},\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{observation},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\mathrm{that}\\ \mathrm{x}= 1\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{only}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{.}\end{array}$

Q.13

$\begin{array}{l}\mathrm{Is}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{defined}\mathrm{by}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{x}+5& \mathrm{if}\mathrm{x}\le \mathrm{1}\\ \mathrm{x}-5& \mathrm{if}\mathrm{x}>1\end{array}\right\\\ \mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}?\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+5,\mathrm{ }\mathrm{if} \mathrm{x}\le \mathrm{1}\\ \mathrm{x}-5,\mathrm{ }\mathrm{if} \mathrm{x}>1\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}+5â€‹â€‹â€‹ \mathrm{ }\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+5\right)\\ =\mathrm{c}+5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(1\right)=1+5=6\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+5\right)=1+5=6\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}-5\right)=1-5=-4\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}-5 \mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}-5\right)\\ =\mathrm{c}-5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 1\\ \mathrm{Thus},\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{observation},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\mathrm{that}\\ \mathrm{x}= 1\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{only}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{.}\\ \end{array}$

Q.14

Discuss the continuity of the function f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}\mathbf{3}, \mathrm{if} \mathbf{0}\le \mathrm{x}\le 1\\ \mathbf{4}, \mathrm{if} \mathbf{1}<\mathrm{x}<3\\ \mathbf{5}, \mathrm{if} \mathbf{3}\le \mathrm{x}\le 10\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\text{The given function f is f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{ll}3,\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}& \mathrm{i}\mathrm{f}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}0\le \mathrm{x}\le 1\\ 4,\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}& \mathrm{i}\mathrm{f}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}1<\mathrm{x}<3\\ 5,& \mathrm{i}\mathrm{f}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}3\le \mathrm{x}\le 10& \end{array}\\ \text{The given function f is defined at all the points of the real line}.\\ \text{Let c be a point on the real line}.\\ Case\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}I:\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{I}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}0\le \mathrm{c}<1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left(c\right)=3\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}and\\ \underset{x\to c}{lim}â¡f\left(x\right)=\underset{x\to c}{lim}\left(3\right)\\ \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}=3\\ \therefore \underset{x\to c}{lim}â¡f\left(x\right)=\mathrm{f}\left(c\right)\\ \text{Therefore, f is continuous in the interval [0,1)}.\\ Case\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}II:\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{I}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{c}=1,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left(1\right)=3\\ \text{The left hand limit of f at x = 1 is,}\\ \underset{x\to {1}^{-}}{lim}â¡f\left(x\right)=\underset{x\to {1}^{-}}{lim}\left(3\right)=3\\ \text{The right hand limit of f at x = 1 is,}\\ \underset{x\to {1}^{+}}{lim}â¡f\left(x\right)=\underset{x\to {1}^{+}}{lim}\left(4\right)=4\\ \therefore \underset{x\to {1}^{-}}{lim}â¡f\left(x\right)\ne \underset{x\to {1}^{+}}{lim}â¡f\left(x\right)\\ \text{Therefore, f is not continuous at x = 1}\\ Case\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}III:\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\mathrm{I}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}1\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}<\mathrm{c}<3,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left(c\right)\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}=4\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}and\\ \underset{x\to c}{lim}â¡f\left(x\right)=\underset{x\to c}{lim}\left(4\right)\\ \phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}=4\\ \therefore \underset{x\to c}{lim}â¡f\left(x\right)=\mathrm{f}\left(c\right)\\ \text{Therefore, f is continuous at all points of the interval (1, 3)}.\\ Case\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}IV:\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\mathrm{I}\mathrm{f}\mathrm{c}=3,\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\mathrm{f}\left(c\right)=5\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\\ \mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{x}=3\mathrm{i}\mathrm{s},\\ \underset{x\to {3}^{-}}{lim}â¡f\left(x\right)=\underset{x\to {3}^{-}}{lim}\left(4\right)=4\\ \text{The right hand limit of f at x = 3 is,}\\ \underset{x\to {3}^{+}}{lim}â¡f\left(x\right)=\underset{x\to {3}^{+}}{lim}\left(5\right)=5\\ \therefore \underset{x\to {3}^{-}}{lim}â¡f\left(x\right)\ne \underset{x\to {3}^{+}}{lim}â¡f\left(x\right)\\ \text{Therefore, f is not continuous at x = 3}.\\ Case\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}IV:\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{I}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}3\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}<\mathrm{c}\le 10,\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left(c\right)=5\phantom{\rule{thinmathspace}{0ex}}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}and\\ \underset{x\to c}{lim}â¡f\left(c\right)=\underset{x\to c}{lim}\left(5\right)=5\\ \underset{x\to c}{lim}â¡f\left(c\right)=\mathrm{f}\left(c\right)\\ \text{Therefore,}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{i}\mathrm{s}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{s}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{a}\mathrm{t}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{o}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\left(3,10\right].\\ \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e},\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{f}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{i}\mathrm{s}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{s}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{a}\mathrm{t}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{x}=1\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\phantom{\rule{thickmathspace}{0ex}}\mathrm{x}=3.\end{array}$

Q.15

Discuss the continuity of the function f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}\mathbf{2}\mathrm{x}, \mathrm{if} \mathrm{x}<0\\ \mathbf{0}, \mathrm{if}\mathrm{ }\mathbf{0}\le \mathrm{x}<1\\ \mathbf{4}\mathbf{x}, \mathrm{if} \mathrm{x}>1\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}, \mathrm{if} \mathrm{x}<\mathrm{0}\\ 0, \mathrm{if} 0\le \mathrm{x}<1\\ 4\mathrm{x},\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}>\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=2\mathrm{c}â€‹â€‹\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(2\mathrm{x}\right)\\ =2\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 0.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)=0\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(2\mathrm{x}\right)=2×0=0\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(0\right)=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}0<\mathrm{c}<1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=0.\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(0\right)=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{interval}\left(0, 1\right)\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{IV}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)=0.\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(0\right)=0\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(4\mathrm{x}\right)=4×1=4\\ ⇒\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{V}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=4\mathrm{c}\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(4\mathrm{x}\right)=4\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 1\\ \mathrm{Hence},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{only}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1.\end{array}$

Q.16

Discuss the continuity of the function f, where f is defined by

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}-\mathbf{2}, \mathrm{if} \mathrm{x}<-\mathbf{x}\\ \mathbf{2}\mathbf{x}, \mathrm{if}\mathrm{ }\mathbf{0}\le \mathrm{x}<1\\ \mathbf{2}, \mathrm{ }\mathrm{if} \mathrm{x}>1\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}-2, \mathrm{if} \mathrm{x}\le -\mathrm{1}\\ 2\mathrm{x}, \mathrm{if}\mathrm{ }-1\le \mathrm{x}<1\\ 2,\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}>\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<-1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=-2\mathrm{ }\mathrm{and}â€‹â€‹\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(-2\right)\\ =-2\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}<-\mathrm{1}.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=-1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(-1\right)=-2\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=-1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to -{\mathrm{1}}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -{\mathrm{1}}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(-2\right)=-2\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=-1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to -{\mathrm{1}}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -{\mathrm{1}}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(2\mathrm{x}\right)=2×\left(-\mathrm{1}\right)=-2\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to -\mathrm{1}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(-\mathrm{1}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=-1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}-1<\mathrm{c}<1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=2\mathrm{c}.\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(2\mathrm{x}\right)=2\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{interval}\left(-1, 1\right)\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{IV}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)=2×1=2.\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(2\mathrm{x}\right)=2×1=2\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(2\right)=2\\ ⇒\underset{\mathrm{x}\to 1}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{V}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>1,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=2\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(2\right)=2\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 1\\ \mathrm{Thus},\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{observations},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\mathrm{that}\\ \mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\end{array}$

Q.17

$\begin{array}{l}\mathrm{Find}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{relationship}\mathrm{â€„}\mathrm{between}\mathrm{â€„}\mathrm{a}\mathrm{â€„}\mathrm{and}\mathrm{â€„}\mathrm{b}\mathrm{â€„}\mathrm{so}\mathrm{â€„}\mathrm{that}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\\ \mathrm{f}\mathrm{â€„}\mathrm{defined}\mathrm{â€„}\mathrm{by}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}\le 3\\ \mathrm{bx}+, \mathrm{if} \mathrm{x}>3\end{array}\right\\\ \mathrm{â€„}\mathrm{tinuous}\mathrm{â€„}\mathrm{at}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=3.\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+1,\mathrm{if} \mathrm{x}\le 3\\ \mathrm{bx}+3,\mathrm{if} \mathrm{x}>3\end{array}\\ \mathrm{If}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 3,\mathrm{then}\\ \underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(3\right)...\left(\mathrm{i}\right)\\ \underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{ax}+1\right)=3\mathrm{a}+1\\ \underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {3}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{bx}+3\right)=3\mathrm{b}+3\\ \mathrm{f}\left(3\right)=3\mathrm{a}+1\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{from}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{obtain}\\ 3\mathrm{a}+1=3\mathrm{b}+3=3\mathrm{a}+1\\ ⇒3\mathrm{a}+1=3\mathrm{b}+3\\ ⇒ \mathrm{ }3\mathrm{a}=3\mathrm{b}+3-1\\ ⇒ \mathrm{a}=\mathrm{b}+\frac{2}{3}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{relationship}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\\ \mathrm{ }\mathrm{a}=\mathrm{b}+\frac{2}{3}.\end{array}$

Q.18

$\begin{array}{l}\mathrm{For}\mathrm{â€„}\mathrm{what}\mathrm{â€„}\mathrm{value}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{\lambda }\mathrm{â€„}\mathrm{is}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}\mathrm{f}\mathrm{â€„}\mathrm{defined}\mathrm{â€„}\mathrm{by}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\lambda }\left({\mathrm{x}}^{2}-2\mathrm{x}\right), \mathrm{if} \mathrm{x}\le 0\\ 4\mathrm{x}+, \mathrm{if} \mathrm{x}>0\end{array}\right\\\ \mathrm{tinuous}\mathrm{â€„}\mathrm{at}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=0?\mathrm{â€„}\mathrm{What}\mathrm{â€„}\mathrm{about}\mathrm{â€„}\mathrm{continuity}\mathrm{â€„}\mathrm{at}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=1?\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\lambda }\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-2\mathrm{x}\right), \mathrm{ }\mathrm{if} \mathrm{x}\le \mathrm{0}\\ 4\mathrm{x}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}>0\end{array}\\ \mathrm{If}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=0,\mathrm{then}\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)\\ ⇒\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{\lambda }\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-2\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}4\mathrm{x}+1=\mathrm{\lambda }\left({\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}×\mathrm{0}\right)\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{\lambda }\left({\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}×\mathrm{0}\right)=4\left(0\right)+1=0\\ ⇒\mathrm{ }0=1=0,\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{possible}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{there}\mathrm{is}\mathrm{no}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{\lambda }\mathrm{for}\mathrm{which}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\\ \mathrm{At}\mathrm{x}= 1,\\ \mathrm{f}\left(1\right) = 4\mathrm{x}+ 1 = 4 × 1 + 1 = 5\\ \underset{\mathrm{x}\to 1}{\mathrm{lim}}\left(4\mathrm{x}+1\right)=4×1+1=5\\ \therefore \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 1}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{for}\mathrm{any}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{\lambda },\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{.}\end{array}$

Q.19

Show that the function defined by g(x) = x – [x] is discontinuous at all integral
points. Here [x] denotes the greatest integer less than or equal to x.

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-\left[\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{integral}\mathrm{points}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{n}\mathrm{be}\mathrm{an}\mathrm{integer}\mathrm{.}\\ \mathrm{Then},\\ \mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{n}-\left[\mathrm{n}\right]=\mathrm{n}-\mathrm{n}=0\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{n}\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}-\left[\mathrm{x}\right]\right)\\ =\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{x}-\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{-}}{\mathrm{lim}}\left[\mathrm{x}\right]\\ =\mathrm{n}-\left(\mathrm{n}-1\right)\\ =1\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{n}\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}-\left[\mathrm{x}\right]\right)\\ =\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{x}-\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{+}}{\mathrm{lim}}\left[\mathrm{x}\right]\\ =\mathrm{n}-\mathrm{n}\\ =0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\ne \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{n}}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{n}.\\ \mathrm{Hence},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{discontinuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{integral}\mathrm{points}\mathrm{.}\end{array}$

Q.20

$\begin{array}{l}\mathbf{Is}\mathrm{}\mathbf{the}\mathrm{}\mathbf{function}\mathrm{}\mathbf{defined}\mathrm{}\mathbf{by}\mathrm{}\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)={\mathbf{x}}^{2}–\mathrm{}\mathbf{sinx}+\mathbf{5}\mathrm{ }\mathbf{continuous}\mathrm{}\\ \mathbf{at}\mathrm{}\mathbf{x}=\mathrm{\pi }?\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{2}-6\mathrm{sinx}+5\\ âˆµ\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{\pi }\\ \mathrm{At}\mathrm{â€‹}\mathrm{x}=\mathrm{\pi },\mathrm{ }\\ \mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }\right)={\mathrm{\pi }}^{2}-6\mathrm{sin\pi }+5\\ ={\mathrm{\pi }}^{2}-6\left(0\right)+5\\ ={\mathrm{\pi }}^{2}+5\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\pi }}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\pi }}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}-6\mathrm{sinx}+5\right)\\ \mathrm{Put}\mathrm{ }\mathrm{x}\to \mathrm{\pi }+\mathrm{h}\\ \mathrm{If} \mathrm{x}\to \mathrm{\pi },\mathrm{then}\mathrm{h}\to 0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\pi }}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\pi }}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}-6\mathrm{sinx}+5\right)\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left\{{\left(\mathrm{h}+\mathrm{\pi }\right)}^{2}-6\mathrm{sin}\left(\mathrm{h}+\mathrm{\pi }\right)+5\right\}\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}{\left(\mathrm{h}+\mathrm{\pi }\right)}^{2}-6\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{h}+\mathrm{\pi }\right)+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}5\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}{\left(\mathrm{h}+\mathrm{\pi }\right)}^{2}-6\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sinhcos\pi }+\mathrm{sin\pi cosh}\right)+5\\ ={\left(0+\mathrm{\pi }\right)}^{2}-6\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sinh}×-1+0×\mathrm{cosh}\right)+5\\ ={\mathrm{\pi }}^{2}+6\mathrm{sin}0\mathrm{ }+5\\ ={\mathrm{\pi }}^{2}\mathrm{ }+5\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\pi }}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{\pi }\mathrm{.}\end{array}$

Q.21

Discuss the continuity of the following functions:
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x) = sin x − cos x
(c) f(x) = sin x . cos x

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{If}\mathrm{two}\mathrm{functions}\left(\mathrm{f}\mathrm{and}\mathrm{g}\right)\mathrm{are}\mathrm{continuous}\mathrm{then}\mathrm{their}\mathrm{sum},\\ \mathrm{difference}\mathrm{and}\mathrm{product}\left(\mathrm{i}.\mathrm{e}.,\mathrm{f}+\mathrm{g},\mathrm{f}-\mathrm{g}\mathrm{and}\mathrm{f}.\mathrm{g}\right)\mathrm{are}\mathrm{also}\\ \mathrm{continuous}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{us}\mathrm{prove}\mathrm{that}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sinx}\mathrm{and}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cosx}\mathrm{are}\mathrm{continuous}\\ \mathrm{functions}\mathrm{.}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{clear}\mathrm{that}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sin}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}.\mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{c}+\mathrm{h}\\ \mathrm{If}\mathrm{x}\to \mathrm{c},\mathrm{then}\mathrm{h}\to \mathrm{0}\\ \mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{sinc} \mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{sinx}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)\\ \mathrm{ }=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sinccosh}+\mathrm{sinhcosc}\right)\\ \mathrm{ }=\mathrm{sinccos}0+\mathrm{sin}0\mathrm{cosc}\\ \mathrm{ }=\mathrm{sinc}×1+0×\mathrm{cosc}\\ \mathrm{ }=\mathrm{sinc}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{evident}\mathrm{that}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\\ \mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}.\mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{c}+\mathrm{h}\\ \mathrm{If}\mathrm{x}\to \mathrm{c},\mathrm{then}\mathrm{h}\to \mathrm{0}\\ \mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{cosc}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{cosx}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)\\ \mathrm{ }=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{cosccosh}\mathrm{ }-\mathrm{sinhsinc}\right)\\ \mathrm{ }=\mathrm{cosccos}0+\mathrm{sin}0\mathrm{sinc}\\ \mathrm{ }=\mathrm{cosc}×1+0×\mathrm{sinc}\\ \mathrm{ }=\mathrm{cosc}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\mathrm{that}\\ \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) +\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{sin}\mathrm{x}+\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\\ \left(\mathrm{b}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) –\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{sin}\mathrm{x}–\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\\ \left(\mathrm{c}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) ×\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{sin}\mathrm{x}×\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\end{array}$

Q.22

Discuss the continuity of the cosine, cosecant, secant and cotangent functions.

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Firstly}\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{to}\mathrm{prove}\mathrm{that}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{sinx}\mathrm{and}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\\ \mathrm{are}\mathrm{continuous}\mathrm{functions}\mathrm{.}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{clear}\mathrm{that}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sin}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}.\mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{c}+\mathrm{h}\\ \mathrm{If}\mathrm{x}\to \mathrm{c},\mathrm{then}\mathrm{h}\to \mathrm{0}\\ \mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{sinc} \mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{sinx}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)\\ \mathrm{ }=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sinccosh}+\mathrm{sinhcosc}\right)\\ \mathrm{ }=\mathrm{sinccos}0+\mathrm{sin}0\mathrm{cosc}\\ \mathrm{ }=\mathrm{sinc}×1+0×\mathrm{cosc}\\ \mathrm{ }=\mathrm{sinc}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{evident}\mathrm{that}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\\ \mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}.\mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{c}+\mathrm{h}\\ \mathrm{If}\mathrm{x}\to \mathrm{c},\mathrm{then}\mathrm{h}\to \mathrm{0}\\ \mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{cosc}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{cosx}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)\\ \mathrm{ }=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{cosccosh}\mathrm{ }-\mathrm{sinhsinc}\right)\\ \mathrm{ }=\mathrm{cosccos}0+\mathrm{sin}0\mathrm{sinc}\\ \mathrm{ }=\mathrm{cosc}×1+0×\mathrm{sinc}\\ \mathrm{ }=\mathrm{cosc}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{It}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\mathrm{that},\\ \mathrm{cosecx}=\frac{1}{\mathrm{sinx}},\mathrm{ }\mathrm{sinx}\ne 0 \mathrm{is}\mathrm{â€‹}\mathrm{continuous}\mathrm{.}\\ ⇒\mathrm{cosecx},\mathrm{ }\mathrm{nx}\ne 0\mathrm{ }\left(\mathrm{n}\in \mathrm{Z}\right)\mathrm{ }\mathrm{is}\mathrm{â€‹}\mathrm{continuous}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{cosecant}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{except}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{n\pi },\mathrm{n}\in \mathrm{Z}\mathrm{.}\\ \mathrm{secx}=\frac{1}{\mathrm{cosx}},\mathrm{ }\mathrm{cosx}\ne 0 \mathrm{is}\mathrm{â€‹}\mathrm{continuous}\mathrm{.}\\ ⇒\mathrm{secx}, \mathrm{x}\ne \left(2\mathrm{n}+1\right)\frac{\mathrm{\pi }}{2} \left(\mathrm{n}\in \mathrm{Z}\right) \mathrm{is}\mathrm{â€‹}\mathrm{continuous}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{secant}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{except}\mathrm{at}\mathrm{ }\mathrm{x}=\left(2\mathrm{n}+1\right)\frac{\mathrm{\pi }}{2} \left(\mathrm{n}\in \mathrm{Z}\right).\\ \mathrm{cotx}=\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}, \mathrm{sinx}\ne 0 \mathrm{is}\mathrm{â€‹}\mathrm{continuous}\mathrm{.}\\ ⇒\mathrm{cotx}, \mathrm{x}\ne \mathrm{n\pi } \left(\mathrm{n}\in \mathrm{Z}\right) \mathrm{is}\mathrm{â€‹}\mathrm{continuous}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{cotangent}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{except}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{n\pi },\mathrm{n}\in \mathrm{Z}.\end{array}$

Q.23

$\begin{array}{l}\mathrm{Find}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{points}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{discontinuity}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{f},\mathrm{â€„}\mathrm{where}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}, \mathrm{if} \mathrm{x}<0\\ \mathrm{x}+, \mathrm{if} \mathrm{x}\ge 0\end{array}\right\\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}, \mathrm{if} \mathrm{x}<\mathrm{0}\\ \mathrm{x}+1,\mathrm{ }\mathrm{if} \mathrm{x}\ge \mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}<0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{sinc}}{\mathrm{c}}â€‹â€‹â€‹ \mathrm{ }\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}\\ =\frac{\mathrm{sinc}}{\mathrm{c}}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 0.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}+1\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+1\right)\\ =\mathrm{c}+1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 0.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{III}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=0,\mathrm{then}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)\\ \mathrm{ }=0+1=1\\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}=1\\ \mathrm{The}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\mathrm{is},\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}+1\right)=1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{0}\\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{observations},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\\ \mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Thus},\mathrm{f}\mathrm{has}\mathrm{no}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{.}\end{array}$

Q.24

$\begin{array}{l}\mathrm{Determine}\mathrm{â€„}\mathrm{if}\mathrm{â€„}\mathrm{f}\mathrm{â€„}\mathrm{defined}\mathrm{â€„}\mathrm{by}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{}{\mathrm{x}}, \mathrm{if} \mathrm{x}\ne 0\\ , \mathrm{if} \mathrm{x}=0\end{array}\right\\\ \mathrm{is}\mathrm{â€„}\mathrm{a}\mathrm{â€„}\mathrm{continuous}\mathrm{â€„}\mathrm{function}?\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}, \mathrm{if} \mathrm{x}\ne \mathrm{0}\\ 0, \mathrm{if} \mathrm{x}=\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{I}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}\ne 0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)={\mathrm{c}}^{2}\mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{c}}â€‹â€‹â€‹ \mathrm{ }\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\\ ={\mathrm{c}}^{2}\mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{c}}â€‹â€‹\mathrm{â€‹}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}\ne \mathrm{0}.\\ \mathrm{Case}\mathrm{ }\mathrm{II}:\mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}=0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(0\right)=0\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\\ \mathrm{Since}, -1\le \mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{x}}\le 1, \mathrm{x}\ne 0\\ ⇒-{\mathrm{x}}^{2}\le {\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{x}}\le {\mathrm{x}}^{2}\\ ⇒\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}-{\mathrm{x}}^{2}\le \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{x}}\le \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{ }\\ ⇒0\le \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{x}}\le 0\\ ⇒\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{x}}=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ \mathrm{Similarly},\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{x}}\right)\\ \mathrm{ }=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lim}}{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sin}\frac{1}{\mathrm{x}}=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{observations},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\\ \mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{every}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Thus},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\end{array}$

Q.25

$\begin{array}{l}\mathrm{Examine}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{continuity}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{f},\mathrm{â€„}\mathrm{where}\mathrm{â€„}\mathrm{f}\mathrm{â€„}\mathrm{is}\mathrm{â€„}\mathrm{defined}\mathrm{â€„}\mathrm{by}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}, \mathrm{if} \mathrm{x}\ne 0\\ -, \mathrm{if} \mathrm{x}=0\end{array}\right\\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}, \mathrm{if} \mathrm{x}\ne \mathrm{0}\\ -1, \mathrm{if} \mathrm{x}=\mathrm{1}\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{CaseI}:\mathrm{If}\mathrm{c}\ne 0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{sinc}-\mathrm{cosc}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}\right)=\mathrm{sinc}-\mathrm{cosc}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}\ne 0.\\ \mathrm{CaseII}:\mathrm{ }\\ \mathrm{If}\mathrm{c}=0,\mathrm{then}\mathrm{f}\left(0\right)=-1\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}\right)\\ =\mathrm{sin}0-\mathrm{cos}0\\ =0-1=-1\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}\right)\\ =\mathrm{sin}0-\mathrm{cos}0\\ =0-1=-1\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(0\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{observations},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\\ \mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{every}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{Thus},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\end{array}$

Q.26

Find the values of k so that the function f is continuous at the indicated point

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}\frac{\mathbf{k}\mathrm{cosx}}{\mathrm{\pi }-\mathbf{2}\mathbf{x}}, \mathrm{if} \mathrm{x}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \mathbf{3}, \mathrm{if} \mathrm{x}=0\end{array} \mathrm{atx}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{kcosx}}{\mathrm{\pi }-2\mathrm{x}}, \mathrm{if} \mathrm{x}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ 3, \mathrm{if} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{ }\mathrm{if}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\\ \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \mathrm{and}\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{ }\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \mathrm{equals}\mathrm{the}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{ }\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}.\\ \mathrm{Since},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{ }\mathrm{and} \mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=3\\ \underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{kcosx}}{\mathrm{\pi }-2\mathrm{x}}\\ \mathrm{Let}\mathrm{ }\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{h},\mathrm{then}\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}⇒\mathrm{h}\to 0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{kcosx}}{\mathrm{\pi }-2\mathrm{x}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{kcos}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{h}\right)}{\mathrm{\pi }-2\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{h}\right)}\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{-\mathrm{ksinh}}{-2\mathrm{h}}\\ =\mathrm{k}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sinh}}{2\mathrm{h}}\\ =\mathrm{k}×\frac{1}{2}\\ =\frac{\mathrm{k}}{2}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\\ ⇒ \frac{\mathrm{k}}{2}=3\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{k}=6\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{k}\mathrm{is}6\mathrm{.}\end{array}$

Q.27

$\begin{array}{l}\mathrm{Find}\mathrm{the}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{k}\mathrm{so}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{indicated}\mathrm{point}\mathrm{.}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{2}, \mathrm{if} \mathrm{x}\le \\ , \mathrm{if} \mathrm{ }\mathrm{x}>2\end{array}\right\ \mathrm{ }\mathrm{at}\mathrm{x}=2\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{kx}}^{2}, \mathrm{if} \mathrm{x}\le 2\\ 3, \mathrm{if} \mathrm{x}>2\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 2,\mathrm{if}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\\ \mathrm{x}=2\mathrm{and}\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=2\mathrm{equals}\mathrm{the}\mathrm{limit}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}=2\mathrm{.}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{clear}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{x}= 2\mathrm{and}\mathrm{ }\mathrm{f}\left(2\right)=\mathrm{k}{\left(2\right)}^{2}=4\mathrm{k}\\ \underset{\mathrm{x}\to {2}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {2}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(2\right)\\ ⇒ \underset{\mathrm{x}\to {2}^{-}}{\mathrm{lim}}\left({\mathrm{kx}}^{2}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {2}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(3\right)=4\mathrm{k}\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{k}×{2}^{2}=3=4\mathrm{k}\\ ⇒ 4\mathrm{k}=3\\ ⇒ \mathrm{k}=\frac{3}{4}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{value}\mathrm{of} \mathrm{k} \mathrm{is}\mathrm{ }\frac{3}{4}.\end{array}$

Q.28

Find the values of k so that the function f is continuous at the indicated point

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}\mathbf{k}\mathrm{x}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}\le \mathrm{\pi }\\ \mathrm{cosx}, \mathrm{if} \mathrm{ }\mathrm{x}>\mathrm{\pi }\end{array} \mathrm{atx}=\mathrm{\pi }$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{kx}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}\le \mathrm{\pi }\\ \mathrm{cosx}, \mathrm{if} \mathrm{x}>\mathrm{\pi }\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{\pi },\mathrm{then}\\ \mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{L}\mathrm{.}=\mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{L}\mathrm{.}=\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }\right)\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{clear}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{x}=\mathrm{\pi }\mathrm{and}\\ \mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }\right)=\mathrm{k}\left(\mathrm{\pi }\right)+1=\mathrm{\pi k}+1\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{\pi }}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{\pi }}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }\right)\\ ⇒ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{\pi }}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{kx}+1\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{\pi }}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{cosx}\right)=4\mathrm{\pi }+1\\ ⇒ \mathrm{k\pi }+1=\mathrm{cos\pi }=4\mathrm{\pi }+1\\ ⇒\mathrm{ }\mathrm{k\pi }+1=-1=4\mathrm{\pi }+1\\ ⇒ \mathrm{k}=-\frac{2}{\mathrm{\pi }}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{value}\mathrm{of} \mathrm{k} \mathrm{is}\mathrm{ }-\frac{2}{\mathrm{\pi }}.\end{array}$

Q.29

Find the values of k so that the function f is continuous at the indicated point

$\text{f(x)={}\begin{array}{l}\mathbit{k}x+1, if x\le \mathbf{5}\\ 3x-5, if x>\mathbf{5}\end{array} atx=\mathbf{5}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{=}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{kx}+1, \mathrm{if} \mathrm{x}\le 5\\ 3\mathrm{x}-5, \mathrm{if} \mathrm{x}>5\end{array}\\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=5,\mathrm{then}\\ \mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{L}\mathrm{.}=\mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{L}\mathrm{.}=\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }\right)\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{clear}\mathrm{that}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{x}=5\mathrm{and}\\ \mathrm{ }\mathrm{f}\left(5\right)=5\mathrm{k}+1\\ \underset{\mathrm{x}\to {5}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {5}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(5\right)\\ ⇒ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to {5}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{kx}+1\right)=\underset{\mathrm{x}\to {5}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(3\mathrm{x}-5\right)=5\mathrm{k}+1\\ ⇒ 5\mathrm{k}+1=15-5=5\mathrm{k}+1\\ ⇒\mathrm{ }5\mathrm{k}+1=10\\ ⇒ \mathrm{k}=\frac{9}{5}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{value}\mathrm{of} \mathrm{k} \mathrm{is} \frac{9}{5}.\end{array}$

Q.30

$\begin{array}{l}\mathrm{Find}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{values}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{a}\mathrm{â€„}\mathrm{and}\mathrm{â€„}\mathrm{b}\mathrm{â€„}\mathrm{such}\mathrm{â€„}\mathrm{that}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}\mathrm{defined}\mathrm{â€„}\mathrm{by}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}, \mathrm{if} \mathrm{x}\le \\ \mathrm{ax}+\mathrm{b}, \mathrm{if}\mathrm{ }<\mathrm{ }\mathrm{x}<\\ ,\mathrm{if} \mathrm{x}\ge \end{array}\right\\\ \mathrm{is}\mathrm{â€„}\mathrm{a}\mathrm{â€„}\mathrm{continuous}\mathrm{â€„}\mathrm{function}.\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\text{The given function f is f}\left(\text{x}\right)\text{=}\left\{\begin{array}{l}5\text{,}\text{\hspace{0.17em}}\text{}\text{}\text{if}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{x}\le 2\\ ax+b\text{,}\text{\hspace{0.17em}}\text{}\text{if}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}2<\text{x}<10\\ 21,\text{}\text{}if\text{\hspace{0.17em}}x\ge 10\end{array}\\ \text{It is evident that the given function f is defined at all points}\\ \text{of the real line}\text{.If f is a continuous function, then f is continuous}\\ \text{at all real numbers}\text{.}\\ So,\text{\hspace{0.17em}}\text{f is continuous at x = 2 and x = 10}\text{.}\\ \text{Since f is continuous at x = 2, we obtain}\\ \text{}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\underset{x\to {2}^{-}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to {2}^{+}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=f\left(2\right)\\ ⇒\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\underset{x\to {2}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(5\right)=\underset{x\to {2}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(ax+b\right)=5\\ ⇒\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}5=2a+b=5\\ ⇒\text{}\text{}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}2a+b=5\text{}\dots \left(i\right)\\ \text{Since f is continuous at x = 10, we obtain}\\ \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\underset{x\to {10}^{-}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to {10}^{+}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=f\left(10\right)\\ ⇒\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\underset{x\to {10}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(ax+b\right)=\underset{x\to {2}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(21\right)=21\\ ⇒\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}10a+b=21=21\\ ⇒\text{}\text{}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}10a+b=21\text{}\text{}\dots \left(ii\right)\\ \text{On subtracting equation (i) from equation (ii), we obtain}\\ \text{8a}=\text{16}\text{}⇒a=\frac{16}{8}=2\\ By\text{putting a}=\text{2 in equation}\left(\text{ii}\right)\text{, we get}\\ \text{}10\left(2\right)+b=21\\ ⇒\text{}\text{}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}b=21-20\text{}=1\\ \text{Therefore, the values of a and b for which f is a continuous}\\ \text{function are 2 and 1 respectively}\text{.}\end{array}$

Q.31

Show that the function defined by f(x) = cos(x2) is a continuous function.

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\right)}\\ \mathrm{This}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{f}\mathrm{can}\mathrm{be}\\ \mathrm{written}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{composition}\mathrm{ }\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{functions}\mathrm{as},\\ \mathrm{f}=\mathrm{gοh},\mathrm{where}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{and}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) ={\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\\ \left[âˆµ\left(\mathrm{gοh}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{g}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)={\mathrm{cosx}}^{2}\right]\\ \mathrm{First}\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{to}\mathrm{prove}\mathrm{that}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{and}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) ={\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{are}\\ \mathrm{continuous}\mathrm{functions}\mathrm{.}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{evident}\mathrm{that}\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Then},\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{c}\\ \mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{c}+\mathrm{h}\\ \mathrm{If}\mathrm{ }\mathrm{x}\to \mathrm{c},\mathrm{ }\mathrm{then} \mathrm{h}\to 0\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{cosx}\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{cosccosh}-\mathrm{sincsinh}\right)\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{cosccosh}-\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{sincsinh}\\ =\mathrm{cosccos}0-\mathrm{sincsin}0\\ =\mathrm{cosc}×1-\mathrm{sinc}×0\\ =\mathrm{cosc}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cosc}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{Clearly},\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{k}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number},\mathrm{then}\mathrm{h}\left(\mathrm{k}\right)={\mathrm{k}}^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{x}}^{2}={\mathrm{k}}^{2}\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{h}\left(\mathrm{k}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{known}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{real}\mathrm{valued}\mathrm{functions}\mathrm{g}\mathrm{and}\mathrm{h},\mathrm{such}\mathrm{that}\\ \left(\mathrm{goh}\right)\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{c},\mathrm{if}\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{c}\mathrm{and}\mathrm{if}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\\ \mathrm{at}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right),\mathrm{then}\left(\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{g}\right)\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{c}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{gοh}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cos}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\end{array}$

Q.32

Show that the function defined by f(x) = |cos x| is a continuous function.

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) =|\mathrm{cosx}|\\ \mathrm{This}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{f}\mathrm{can}\mathrm{be}\\ \mathrm{written}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{composition}\mathrm{ }\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{functions}\mathrm{as},\\ \mathrm{f}=\mathrm{gοh},\mathrm{where}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) =|\mathrm{x}|\mathrm{and}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cosx}\\ \left[âˆµ\left(\mathrm{gοh}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{cosx}\right)=|\mathrm{cosx}|\right]\\ \mathrm{First}\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{to}\mathrm{prove}\mathrm{that}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) =|\mathrm{x}|\mathrm{and}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cosx}\mathrm{are}\\ \mathrm{continuous}\mathrm{functions}\mathrm{.}\\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}|=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x},\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}<0\\ -\mathrm{x},\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}\ge 0\end{array}\\ \mathrm{Clearly},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{real}\mathrm{numbers}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{CaseI}:\\ \mathrm{If}\mathrm{c}<0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=-\mathrm{c}\mathrm{}\\ \mathrm{and}\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(-\mathrm{x}\right)=-\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 0.\\ \mathrm{CaseII}:\\ \mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}\\ \mathrm{and} \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 0.\\ \mathrm{CaseIII}:\\ \mathrm{If}\mathrm{ }\mathrm{c}=0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{g}\left(0\right)=0\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(-\mathrm{x}\right)=0\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(0\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{three}\mathrm{observations},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\\ \mathrm{that}\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{.}\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}.\mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{c}+\mathrm{h}\\ \mathrm{If}\mathrm{ }\mathrm{x}\to \mathrm{c},\mathrm{then}\mathrm{h}\to 0\\ \mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{cos}\mathrm{c}\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{cosx}\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{cosccosh}-\mathrm{sincsinh}\right)\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{cosccosh}-\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{sincsinh}\\ =\mathrm{cosccos}0-\mathrm{sincsin}0\\ =\mathrm{cosc}×1-\mathrm{sinc}×0\\ =\mathrm{cosc}\\ \therefore \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cosc}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{cos}\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{known}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{real}\mathrm{valued}\mathrm{functions}\mathrm{g}\mathrm{and}\mathrm{h},\mathrm{such}\mathrm{that}\\ \left(\mathrm{gοh}\right)\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{c},\mathrm{if}\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{c}\mathrm{and}\mathrm{if}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\\ \mathrm{at}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right),\mathrm{then}\left(\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{g}\right)\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{c}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{gοh}\right)\left(\mathrm{x}\right)\\ =\mathrm{g}\left(\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\right)\\ =\mathrm{g}\left(\mathrm{cosx}\right)=|\mathrm{cosx}|\mathrm{ }\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\end{array}$

Q.33

Examine that sin|x| is a continuous function.

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{sin}|\mathrm{x}|\\ \mathrm{This}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{and}\mathrm{f}\mathrm{can}\mathrm{be}\\ \mathrm{written}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{composition}\mathrm{ }\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{functions}\mathrm{as},\\ \mathrm{f}=\mathrm{gοh},\mathrm{where}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) =|\mathrm{x}|\mathrm{and}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{sinx}\\ \left[âˆµ\left(\mathrm{gοh}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{g}\left(|\mathrm{x}|\right)=\mathrm{sin}|\mathrm{x}|=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]\\ \mathrm{First}\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{to}\mathrm{prove}\mathrm{that}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) =|\mathrm{x}|\mathrm{and}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{sinx}\mathrm{are}\\ \mathrm{continuous}\mathrm{functions}\mathrm{.}\\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}|=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x},\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}<0\\ -\mathrm{x},\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}\ge 0\end{array}\\ \mathrm{Clearly},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{real}\mathrm{numbers}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{CaseI}:\\ \mathrm{If}\mathrm{c}<0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=-\mathrm{c}\mathrm{}\\ \mathrm{and}\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(-\mathrm{x}\right)=-\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 0.\\ \mathrm{CaseII}:\\ \mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}\\ \mathrm{and} \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 0.\\ \mathrm{CaseIII}:\\ \mathrm{If}\mathrm{ }\mathrm{c}=0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{g}\left(0\right)=0\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(-\mathrm{x}\right)=0\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(0\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{three}\mathrm{observations},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\\ \mathrm{that}\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{.}\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) =\mathrm{sinx}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}.\mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{c}+\mathrm{h}\\ \mathrm{If}\mathrm{ }\mathrm{x}\to \mathrm{c},\mathrm{then}\mathrm{h}\to 0\\ \mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{sinc}\\ \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{ }\mathrm{sinx}\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{ }\mathrm{sin}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{sinccosh}-\mathrm{coscsinh}\right)\\ =\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{sinccosh}-\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{lim}}\mathrm{coscsinh}\\ =\mathrm{sinccos}0-\mathrm{coscsin}0\\ =\mathrm{sinc}×1-\mathrm{cosc}×0\\ =\mathrm{sinc}\\ \therefore \mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sinc}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{known}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{real}\mathrm{valued}\mathrm{functions}\mathrm{g}\mathrm{and}\mathrm{h},\mathrm{such}\mathrm{that}\\ \left(\mathrm{gοh}\right)\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{at}\mathrm{c},\mathrm{if}\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{c}\mathrm{and}\mathrm{if}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\\ \mathrm{at}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right),\mathrm{then}\left(\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{g}\right)\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{c}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{gοh}\right)\left(\mathrm{x}\right)\\ =\mathrm{g}\left(\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\right)\\ =\mathrm{g}\left(\mathrm{sinx}\right)=|\mathrm{sinx}|\mathrm{ }\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\end{array}$

Q.34

Find all the points of discontinuity of f defined by f(x) = |x| – |x+1|.

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}|-|\mathrm{x}+1|\\ \mathrm{The}\mathrm{two}\mathrm{functions},\mathrm{g}\mathrm{and}\mathrm{h},\mathrm{are}\mathrm{defined}\mathrm{as}\\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}| \mathrm{and} \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}+1|\\ \mathrm{Then},\mathrm{f}=\mathrm{g}-\mathrm{h}\\ \mathrm{The}\mathrm{continuity}\mathrm{of}\mathrm{g}\mathrm{and}\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{checked}\mathrm{first}\mathrm{.}\\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}|=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x},\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}<0\\ -\mathrm{x},\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}\ge 0\end{array}\\ \mathrm{Clearly},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{real}\mathrm{numbers}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{CaseI}:\\ \mathrm{If}\mathrm{c}<0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=-\mathrm{c}\mathrm{}\\ \mathrm{and}\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(-\mathrm{x}\right)=-\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}< 0.\\ \mathrm{CaseII}:\\ \mathrm{ }\mathrm{If}\mathrm{c}>0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}\\ \mathrm{and} \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{c}\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}> 0.\\ \mathrm{CaseIII}:\\ \mathrm{If}\mathrm{ }\mathrm{c}=0,\mathrm{then}\mathrm{g}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{g}\left(0\right)=0\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\left(-\mathrm{x}\right)=0\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(0\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}= 0\\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{three}\mathrm{observations},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{concluded}\\ \mathrm{that}\mathrm{g}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{.}\\ \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}+1|\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{written}\mathrm{as}\\ \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}-\left(\mathrm{x}+1\right),\mathrm{if}\mathrm{x}<-1\\ \mathrm{x}+1,\mathrm{ }\mathrm{if}\mathrm{ }\mathrm{x}\ge -1\end{array}\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{Let}\mathrm{c}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number}\mathrm{.}\\ \mathrm{CaseI}:\\ \mathrm{If}\mathrm{ }\mathrm{c}<-1,\mathrm{then}\mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)=-\left(\mathrm{c}+1\right)\\ \mathrm{and}\mathrm{}\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left[-\left(\mathrm{x}+1\right)\right]\\ \mathrm{ }=-\left(\mathrm{c}+1\right)\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}<-1.\\ \mathrm{CaseII}:\\ \mathrm{Ifc}>-1,\mathrm{thenh}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{c}+1\mathrm{and}\\ \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\left[\left(\mathrm{x}+1\right)\right]\\ =\left(\mathrm{c}+1\right)\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{h}\left(\mathrm{c}\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{x},\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{x}>-\mathrm{1}\\ \mathrm{CaseIII}:\\ \mathrm{Ifc}=-1,\mathrm{thenh}\left(\mathrm{c}\right)=\mathrm{h}\left(-1\right)=-1+1=0\\ \underset{\mathrm{x}\to -{1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -{1}^{-}}{\mathrm{lim}}\left[-\left(\mathrm{x}+1\right)\right]=-\left(-1+1\right)=0\\ \underset{\mathrm{x}\to -{1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -{1}^{+}}{\mathrm{lim}}\left[\left(\mathrm{x}+1\right)\right]=\left(-1+1\right)=0\\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to -{1}^{-}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -{1}^{+}}{\mathrm{lim}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{h}\left(-1\right)\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{h}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{x}=-\mathrm{1}\\ \mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{three}\mathrm{observations},\mathrm{it}\mathrm{can}\mathrm{ }\mathrm{be}\mathrm{concluded}\\ \mathrm{that}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{points}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{line}\mathrm{.}\\ \mathrm{g}\mathrm{and}\mathrm{h}\mathrm{are}\mathrm{continuous}\mathrm{functions}.\mathrm{Therefore},\mathrm{f}=\mathrm{g}-\mathrm{h}\\ \mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{a}\mathrm{continuous}\mathrm{function}\mathrm{.}\\ \mathrm{Therefore},\mathrm{f}\mathrm{has}\mathrm{no}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{discontinuity}\mathrm{.}\end{array}$

Q.35

Differentiate the function with respect to x.

sin(x2 + 5)

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{â€‹}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sin}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right), \mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{2}+5\mathrm{and}\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{sint}.\mathrm{Then}\\ \left(\mathrm{vοu}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{v}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{v}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right)=\mathrm{sin}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{Thus},\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{composite}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{functions}.\\ \mathrm{Put}\mathrm{t}=\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{2}+5,\mathrm{then}\\ \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\mathrm{sint}=\mathrm{cost}=\mathrm{cos}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right)\mathrm{ }\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right)=2\mathrm{x}+0=2\mathrm{x}\\ \mathrm{Hence},\mathrm{ }\mathrm{by}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\\ \frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}.\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\\ =\mathrm{cos}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right).2\mathrm{x}\\ =2\mathrm{xcos}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right)\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sin}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right)=2\mathrm{xcos}\left({\mathrm{x}}^{2}+5\right)\end{array}$

Q.36

Differentiate the function with respect to x.

cos(sinx)

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let} \mathrm{y}=\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)\right]\\ \mathrm{ }=-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sinx}\right).\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}\left[\mathrm{By}\mathrm{ }\mathrm{chain} \mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }=-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sinx}\right).\mathrm{cosx}\\ \mathrm{ }=-\mathrm{cosx}.\mathrm{sin}\left(\mathrm{sinx}\right)\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)=-\mathrm{cosx}.\mathrm{sin}\left(\mathrm{sinx}\right)\end{array}$

Q.37

Differentiate the function with respect to x.

sin (ax+b)

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{ }\mathrm{y}=\mathrm{ }\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\right]\\ \mathrm{ }=\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right).\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{By}\mathrm{ }\mathrm{chain} \mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }=\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right).\mathrm{a}\\ \mathrm{ }=\mathrm{acos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)=\mathrm{acos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\end{array}$

Q.38

Differentiate the function with respect to x.

$\text{sec}\text{(tan}\text{(}\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\mathrm{sec}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sec}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)\\ \mathrm{ }=\mathrm{sec}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\\ \left[âˆµ\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{secx}=\mathrm{secxtanx}\right]\\ \mathrm{ }=\mathrm{sec}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right).{\mathrm{sec}}^{2}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\\ \left[âˆµ\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{tanx}={\mathrm{sec}}^{2}\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{ }=\mathrm{sec}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right).{\mathrm{sec}}^{2}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right).\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sec}\left(\mathrm{tan}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{sec}\left(\mathrm{tan}\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}\sqrt{\mathrm{x}}\right).{\mathrm{sec}}^{2}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\end{array}$

Q.39

$\text{Differentiate the functions with respect to x}\frac{sin\left(ax+\mathrm{b}\right)}{cos\left(cx+\mathrm{d}\right)}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)}{\mathrm{cos}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)}{\mathrm{cos}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}\right\}\\ \mathrm{ }=\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)-\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}{{\mathrm{cos}}^{2}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}\\ \left[\mathrm{By}\mathrm{Quotient}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }=\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)-\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)×-\mathrm{sin}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}{{\mathrm{cos}}^{2}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}\\ \mathrm{ }=\frac{\mathrm{acos}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{csin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}{{\mathrm{cos}}^{2}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}\\ \mathrm{ }=\frac{\mathrm{acos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)}{\mathrm{cos}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}+\frac{\mathrm{csin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}{{\mathrm{cos}}^{2}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}\\ \mathrm{ }=\mathrm{acos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{sec}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)+\mathrm{csin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{tan}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\mathrm{sec}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)}{\mathrm{cos}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)}=\mathrm{acos}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{sec}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\\ +\mathrm{ }\mathrm{csin}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{tan}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\mathrm{sec}\left(\mathrm{cx}+\mathrm{d}\right)\end{array}$

Q.40

Differentiate the function with respect to x.

cosx3. sin2(x5)

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}={\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}.{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)+{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}} \left[\mathrm{By}\mathrm{â€‹}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\mathrm{.}\right]\\ \mathrm{ }={\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\left\{\mathrm{sin}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)\right\}}^{2}+{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)×-{\mathrm{sinx}}^{3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^{3}\\ \mathrm{ }={\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}×2{\mathrm{sinx}}^{5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sin}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)-{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right){\mathrm{sinx}}^{3}×3{\mathrm{x}}^{2}\\ \mathrm{ }=2{\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}{\mathrm{sinx}}^{5}×\mathrm{cos}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^{5}-3{\mathrm{x}}^{2}{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right){\mathrm{sinx}}^{3}\\ \mathrm{ }=2{\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}{\mathrm{sinx}}^{5}\mathrm{cos}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)×5{\mathrm{x}}^{4}-3{\mathrm{x}}^{2}{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right){\mathrm{sinx}}^{3}\\ \mathrm{ }=10{\mathrm{x}}^{4}{\mathrm{sinx}}^{5}\mathrm{cos}\left({\mathrm{x}}^{5}\right){\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}-3{\mathrm{x}}^{2}{\mathrm{sinx}}^{3}{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}.{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)=10{\mathrm{x}}^{4}{\mathrm{sinx}}^{5}\mathrm{cos}\left({\mathrm{x}}^{5}\right){\mathrm{cosx}}^{\mathrm{3}}-3{\mathrm{x}}^{2}{\mathrm{sinx}}^{3}{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)\end{array}$

Q.41

$\text{Differentiate the function with respect to x. cos}\text{(}\sqrt{x}\right)$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cos}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\\ =-\mathrm{sin}\sqrt{\mathrm{x}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\sqrt{\mathrm{x}}\\ =-\mathrm{sin}\sqrt{\mathrm{x}}×\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^{-\frac{1}{2}}\\ =-\frac{\mathrm{sin}\sqrt{\mathrm{x}}}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\end{array}$

Q.42

$\mathrm{Differentiate}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x}. 2\sqrt{\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=2\sqrt{\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\sqrt{\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)}\\ \mathrm{ }=\mathrm{2}×\frac{1}{2}{\left\{\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)\right\}}^{-\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right) \left[\mathrm{By}\mathrm{â€‹}\mathrm{Chain}\mathrm{Rule}\right]\\ \mathrm{ }={\left\{\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)\right\}}^{-\frac{1}{2}}×-{\mathrm{cosec}}^{2}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^{2}\\ \mathrm{ }={\left\{\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)\right\}}^{-\frac{1}{2}}×-{\mathrm{cosec}}^{2}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)×2\mathrm{x}\\ \mathrm{ }=-\frac{2{\mathrm{xcosec}}^{2}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)}{\sqrt{\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)}}\\ \mathrm{ }=-\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{sin}}^{2}{\mathrm{x}}^{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{cosx}}^{2}}{{\mathrm{sinx}}^{2}}}}\\ \mathrm{ }=-\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{sinx}}^{2}\sqrt{{\mathrm{sinx}}^{2}{\mathrm{cosx}}^{2}}}\\ \mathrm{ }=-\frac{2\sqrt{2}\mathrm{x}}{{\mathrm{sinx}}^{2}\sqrt{2{\mathrm{sinx}}^{2}{\mathrm{cosx}}^{2}}}\\ \mathrm{ }=-\frac{2\sqrt{2}\mathrm{x}}{{\mathrm{sinx}}^{2}\sqrt{\mathrm{sin}2{\mathrm{x}}^{2}}}\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}2\sqrt{\mathrm{cot}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)}=\frac{-2\sqrt{2}\mathrm{x}}{{\mathrm{sinx}}^{2}\sqrt{\mathrm{sin}2{\mathrm{x}}^{2}}}\end{array}$

Q.43

$\begin{array}{l}\mathrm{Prove}\mathrm{â€„}\mathrm{that}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}\mathrm{f}\mathrm{â€„}\mathrm{given}\mathrm{â€„}\mathrm{by}\mathrm{â€„}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\mathrm{x}–1\right|, \mathrm{x}\mathrm{â€„}\in â€„â€„\mathrm{is}\mathrm{â€„}\mathrm{not}\\ \mathrm{differentiable}\mathrm{â€„}\mathrm{at}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=1.\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=|\mathrm{x}-1|, \mathrm{x}\in \mathbf{R}\\ \mathrm{Since}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{differentiable}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{c}\mathrm{in}\mathrm{its}\mathrm{domain}\mathrm{if}\mathrm{both}\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)}{\mathrm{h}}\mathrm{and}\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)}{\mathrm{h}}\mathrm{are}\mathrm{finite}\mathrm{and}\mathrm{equal}\mathrm{.}\\ \mathrm{Now},\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{at}\mathrm{x}=1,\\ \underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(1+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{|1+\mathrm{h}-1|-|1-1|}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{|\mathrm{h}|}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{-\mathrm{h}}{\mathrm{h}}\left(\mathrm{h}<0⇒|\mathrm{h}|=-\mathrm{h}\right)\\ =-1\\ \mathrm{Now},\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{at}\mathrm{x}=1,\\ \underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(1+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{|1+\mathrm{h}-1|-|1-1|}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{|\mathrm{h}|}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{h}}\left(\mathrm{h}>0⇒|\mathrm{h}|=\mathrm{h}\right)\\ =1\\ \mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{left}\mathrm{and}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limits}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{are}\mathrm{not}\mathrm{equal},\\ \mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{differentiable}\mathrm{at}\mathrm{x}=1.\end{array}$

Q.44

$\begin{array}{l}\mathrm{Prove}\mathrm{â€„}\mathrm{that}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{greatest}\mathrm{â€„}\mathrm{integer}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}\mathrm{defined}â€‹â€„\mathrm{by}\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left[\mathrm{x}\right], 0<\mathrm{x}<3\\ \mathrm{is}\mathrm{â€„}\mathrm{not}\mathrm{â€„}\mathrm{differentiable}\mathrm{â€„}\mathrm{at}â€‹â€„\mathrm{x}=1\mathrm{â€„}\mathrm{and}\mathrm{â€„}\mathrm{x}=2.\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left[\mathrm{x}\right], 0<\mathrm{x}<3\\ \mathrm{Since}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{differentiable}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{c}\mathrm{in}\mathrm{its}\mathrm{domain}\mathrm{if}\mathrm{both}\\ \underset{\mathrm{x}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)}{\mathrm{h}}\mathrm{and}\underset{\mathrm{x}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{c}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)}{\mathrm{h}}\mathrm{are}\mathrm{finite}\mathrm{and}\mathrm{equal}\mathrm{.}\\ \mathrm{Now},\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{at}\mathrm{x}=1,\\ \underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(1+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\left[1+\mathrm{h}\right]-\left[1\right]}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{0-1}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{-1}{\mathrm{h}}=\mathrm{\infty }\\ \mathrm{And},\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{at}\mathrm{x}=1,\\ \underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(1+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{\left[1+\mathrm{h}\right]-\left[1\right]}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{1-1}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{0}{\mathrm{h}}=0\\ \mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{left}\mathrm{and}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limits}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\mathrm{are}\mathrm{not}\mathrm{equal},\\ \mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{differentiable}\mathrm{at}\mathrm{x}= 1\\ \mathrm{Checking}\mathrm{the}\mathrm{differentiability}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{at}\mathrm{x}= 2,\\ \mathrm{So},\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{at}\mathrm{x}=2,\\ \underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{2}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{\left[\mathrm{2}+\mathrm{h}\right]-\left[\mathrm{2}\right]}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{1-\mathrm{2}}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}\frac{-1}{\mathrm{h}}=\mathrm{\infty }\\ \mathrm{And},\mathrm{left}\mathrm{hand}\mathrm{limit}\mathrm{at}\mathrm{x}=2,\\ \underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{2}+\mathrm{h}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{\left[\mathrm{2}+\mathrm{h}\right]-\left[\mathrm{2}\right]}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{2-2}{\mathrm{h}}\\ =\underset{\mathrm{h}\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}\frac{0}{\mathrm{h}}=0\\ \mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{left}\mathrm{and}\mathrm{right}\mathrm{hand}\mathrm{limits}\mathrm{of}\mathrm{f}\mathrm{at}\mathrm{x}= 2\mathrm{are}\mathrm{not}\mathrm{equal},\\ \mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{differentiable}\mathrm{at}\mathrm{x}= 2\mathrm{.}\end{array}$

Q.45

Find dy/dx in the following:
2x + 3y = sinx

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: 2\mathrm{x}+ 3\mathrm{y}=\mathrm{sinx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(2\mathrm{x}+ 3\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}\\ 2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}+3\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{cosx}\\ \mathrm{ }2+3\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{cosx}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{cosx}-2}{3}\end{array}$

Q.46

Find dy/dx in the following:
2x + 3y = siny

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: 2\mathrm{x}+ 3\mathrm{y}=\mathrm{siny}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(2\mathrm{x}+ 3\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{siny}\\ 2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}+3\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{cosy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ \mathrm{ }2+3\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{cosy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ 3\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{cosy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-2\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left(3-\mathrm{cosy}\right)=-2\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-2}{\left(3-\mathrm{cosy}\right)}\\ \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{\left(\mathrm{cosy}-3\right)}\end{array}$

Q.47

$\mathrm{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}:\mathrm{ax}+{\mathrm{by}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{cosy}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: \mathrm{ax}+{\mathrm{by}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{cosy}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{ax}+{\mathrm{by}}^{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosy}\\ \mathrm{a}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}+2\mathrm{by}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\mathrm{siny}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ \mathrm{ }\mathrm{a}+2\mathrm{by}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\mathrm{siny}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ 2\mathrm{by}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{siny}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\mathrm{a}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left(2\mathrm{by}+\mathrm{siny}\right)=-\mathrm{a}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\mathrm{a}}{\left(2\mathrm{by}+\mathrm{siny}\right)}\\ \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\mathrm{a}}{\left(2\mathrm{by}+\mathrm{siny}\right)}\end{array}$

Q.48

$\mathrm{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}:\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{tanx}+\mathrm{y}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: \mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{tanx}+\mathrm{y}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{tanx}+\mathrm{y}\right)\\ \left[\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{y}}^{2}={\mathrm{sec}}^{2}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left[\mathrm{By}\mathrm{â€‹}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}+2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{sec}}^{2}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ \mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{sec}}^{2}\mathrm{x}-\mathrm{y}\\ \mathrm{ }\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}-1\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{sec}}^{2}\mathrm{x}-\mathrm{y}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{sec}}^{2}\mathrm{x}-\mathrm{y}}{\mathrm{ }\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}-1\right)}\end{array}$

Q.49

$\mathrm{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}{x}^{\mathrm{3}}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}+{\mathrm{xy}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{3}}=81$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: {\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}+{\mathrm{xy}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{3}}=81\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}+{\mathrm{xy}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{3}}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{81}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{xy}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{3}}=\mathrm{0}\\ 3{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\left({\mathrm{x}}^{2}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^{2}\right)+\left(\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{y}}^{2}+{\mathrm{y}}^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)+3{\mathrm{y}}^{2}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\\ \left[\mathrm{By}\mathrm{product}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }3{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{x}}^{2}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}×2\mathrm{x}+\left(2\mathrm{xy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+{\mathrm{y}}^{2}×1\right)+3{\mathrm{y}}^{2}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\\ \mathrm{ }3{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{x}}^{2}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{xy}+2\mathrm{xy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+{\mathrm{y}}^{2}+3{\mathrm{y}}^{2}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\\ \mathrm{ }\left({\mathrm{x}}^{2}+2\mathrm{xy}+3{\mathrm{y}}^{2}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-3{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-2\mathrm{xy}-{\mathrm{y}}^{2}\\ \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{\left(3{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{2}\right)}{\left({\mathrm{x}}^{2}+2\mathrm{xy}+3{\mathrm{y}}^{2}\right)}\end{array}$

Q.50

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: {\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{100}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{100}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{xy}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\\ 2\mathrm{x}+\left(\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)+2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\left[\mathrm{By}\mathrm{product}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }2\mathrm{x}+\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}×1+2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)=-2\mathrm{x}-\mathrm{y}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{2\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\mathrm{x}+2\mathrm{y}}\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}=100\end{array}$

Q.51

$\begin{array}{l}\mathrm{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}=100\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: {\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{100}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{100}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{xy}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\\ 2\mathrm{x}+\left(\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)+2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\left[\mathrm{By}\mathrm{product}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }2\mathrm{x}+\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}×1+2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)=-2\mathrm{x}-\mathrm{y}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{2\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\mathrm{x}+2\mathrm{y}}\end{array}$

Q.52

${\text{sin}}^{2}\mathrm{y}+\mathrm{cosxy}=\mathrm{K}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: {\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}+\mathrm{cosxy}=\mathrm{K}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}+\mathrm{cosxy}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{K}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosxy}=\mathrm{0}\\ 2\mathrm{siny}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{siny}-\mathrm{sinxy}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{xy}\right)=\mathrm{0}\left[\mathrm{Using}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\right]\\ 2\mathrm{sinycosy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{sinxy}\left(\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)=0\left[\mathrm{By}\mathrm{product}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{sin}2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{xsinxy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{ysinxy}=0\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{sin}2\mathrm{y}-\mathrm{xsinxy}\right)=\mathrm{ysinxy}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{ysinxy}}{\left(\mathrm{sin}2\mathrm{y}-\mathrm{xsinxy}\right)}\end{array}$

Q.53

$\begin{array}{l}\mathrm{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}\\ {\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\mathrm{x}+{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}= 1\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Given}: {\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\mathrm{x}+{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}=\mathrm{1}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\mathrm{x}+{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}1\\ ⇒ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}}\mathrm{y}=\mathrm{0}\\ ⇒\mathrm{ }2\mathrm{sinx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}+2\mathrm{cosy}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{cosy}\right)=\mathrm{0}\left[\mathrm{Using}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\right]\\ ⇒ 2\mathrm{sinxcosx}+2\mathrm{cosy}\left(-\mathrm{siny}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\\ ⇒ \mathrm{sin}2\mathrm{x}-\mathrm{sin}2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\\ ⇒ -\mathrm{sin}2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\mathrm{sin}2\mathrm{x}\\ ⇒ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{sin}2\mathrm{x}}{\mathrm{sin}2\mathrm{y}}\end{array}$

Q.54

$\text{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{y}={\mathrm{sin}}^{–1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\right)$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{relationship}\mathrm{is} \mathrm{ }\\ \mathrm{y}={\mathrm{sin}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\right)\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{siny}=\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ ⇒ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{siny}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\right)\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{cosy}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}2\mathrm{x}-2\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}}\\ \left[\mathrm{By}\mathrm{Quotient}\mathrm{Rule}\right]\\ ⇒ \sqrt{1-{\mathrm{sin}}^{2}\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)×2-2\mathrm{x}\left(0+2\mathrm{x}\right)}{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}}\\ ⇒ \mathrm{ }\sqrt{1-{\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\right)}^{2}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2+2{\mathrm{x}}^{2}-4{\mathrm{x}}^{2}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}} \left[\mathrm{Putting}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{siny}\right]\\ ⇒\sqrt{\frac{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}-4{\mathrm{x}}^{2}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2-2{\mathrm{x}}^{2}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}}\\ ⇒ \mathrm{ }\sqrt{\frac{{\left(1-{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2-2{\mathrm{x}}^{2}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}}\\ ⇒ \frac{\left(1-{\mathrm{x}}^{2}\right)}{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2-2{\mathrm{x}}^{2}}{{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}^{2}}\\ ⇒ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2-2{\mathrm{x}}^{2}}{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)\left(1-{\mathrm{x}}^{2}\right)}\\ ⇒ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2\left(1-{\mathrm{x}}^{2}\right)}{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)\left(1-{\mathrm{x}}^{2}\right)}\\ \therefore \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)}\end{array}$

Q.55

$\text{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}:\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{y}={\mathrm{tan}}^{–1}\left(\frac{3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^{3}}{1+3{\mathrm{x}}^{2}}\right),-\frac{1}{\sqrt{3}}<\mathrm{x}<\frac{1}{\sqrt{3}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{We}â€‹â€‹\mathrm{have}\mathrm{y}={\mathrm{tan}}^{-1}\left(\frac{3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^{3}}{1-3{\mathrm{x}}^{2}}\right)\\ \mathrm{Putting}\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta },\mathrm{â€‹}\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{y}={\mathrm{tan}}^{-1}\left(\frac{3\mathrm{tan\theta }-{\mathrm{tan}}^{3}\mathrm{\theta }}{1-3{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}\right)\\ ={\mathrm{tan}}^{-1}\left(\mathrm{tan}3\mathrm{\theta }\right)\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }-\frac{1}{\sqrt{3}}<\mathrm{x}<\frac{1}{\sqrt{3}},\mathrm{then}\\ \mathrm{ }\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }\\ ⇒ \mathrm{ }-\frac{1}{\sqrt{3}}<\mathrm{tan\theta }<\frac{1}{\sqrt{3}}\\ ⇒-\frac{\mathrm{\pi }}{6}<\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{6}\\ ⇒-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<3\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \therefore \mathrm{ }\mathrm{y}=3\mathrm{\theta }\left[âˆµ-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<3\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]\\ =3{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\left[âˆµ\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }⇒\mathrm{\theta }={\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\\ =3×\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ =\frac{3}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{tan}}^{-1}\left(\frac{3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^{3}}{1-3{\mathrm{x}}^{2}}\right)=\frac{3}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ \end{array}$

Q.56

$\text{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}:\mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{1-{\mathrm{x}}^{2}}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\right), \mathrm{ }\mathbf{0}<\mathbf{x}<\mathbf{1}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{We}â€‹â€‹\mathrm{have}\mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}{1+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\right), \mathrm{ }0<\mathrm{ }\mathrm{x}< 1\\ \mathrm{Putting}\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta },\mathrm{â€‹}\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{1-{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}\right)\\ ={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\mathrm{cos}2\mathrm{\theta }\right)\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }0< \mathrm{x} < \mathrm{1},\mathrm{then}\\ \mathrm{ }\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }\\ ⇒ 0<\mathrm{tan\theta }<1\\ ⇒ \mathrm{ }0<\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ ⇒ \mathrm{ }0<2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \therefore \mathrm{y}=2\mathrm{\theta }\left[âˆµ0<2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]\\ =2{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\left[âˆµ\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }⇒\mathrm{\theta }={\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\\ =2×\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ =\frac{2}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{1-{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}\right)=\frac{2}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\end{array}$

Q.57

$\begin{array}{l}\mathrm{We}â€‹â€‹\mathrm{have}\mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}{1+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\right), \mathrm{ }0<\mathrm{ }\mathrm{x}< 1\\ \mathrm{Putting}\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta },\mathrm{â€‹}\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{1-{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}\right)\\ ={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\mathrm{cos}2\mathrm{\theta }\right)\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }0< \mathrm{x} < \mathrm{1},\mathrm{then}\\ \mathrm{ }\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }\\ ⇒ 0<\mathrm{tan\theta }<1\\ ⇒ \mathrm{ }0<\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ ⇒ \mathrm{ }0<2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \therefore \mathrm{y}=2\mathrm{\theta }\left[âˆµ0<2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]\\ =2{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\left[âˆµ\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }⇒\mathrm{\theta }={\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\\ =2×\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ =\frac{2}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{1-{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}\right)=\frac{2}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{We}â€‹â€‹\mathrm{have}\mathrm{y}={\mathrm{sin}}^{–1}\left(\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}{1+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\right), \mathrm{ }0<\mathrm{ }\mathrm{x}< 1\\ \mathrm{Putting}\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta },\mathrm{â€‹}\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{y}={\mathrm{sin}}^{–1}\left(\frac{1-{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}\right)\\ ={\mathrm{sin}}^{–1}\left(\mathrm{cos}2\mathrm{\theta }\right)\\ ={\mathrm{sin}}^{–1}\left\{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\theta }\right)\right\}\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }0< \mathrm{x} < \mathrm{1},\mathrm{then}\\ \mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }\\ ⇒ 0<\mathrm{tan\theta }<1\\ ⇒ \mathrm{ }0<\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ ⇒ \mathrm{ }0<2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ ⇒ 0<\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \therefore \mathrm{y}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\theta }\left[âˆµ0<\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]\\ =\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\left[âˆµ\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }⇒\mathrm{\theta }={\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0-2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\\ =-2×\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ =-\frac{2}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ \mathrm{Thus},\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{sin}}^{–1}\left(\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}{1+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\right)=-\frac{2}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\end{array}$

Q.58

$\text{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}:\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\right), \mathrm{ }-\mathbf{1}<\mathbf{x}<\mathbf{1}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{We}â€‹â€‹\mathrm{have}\mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\right), \mathrm{ }-\mathrm{1}<\mathrm{x}<\mathrm{1}\\ \mathrm{Putting}\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta },\mathrm{â€‹}\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{2\mathrm{tan\theta }}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\mathrm{\theta }}\right)\\ ={\mathrm{cos}}^{–1}\left(\mathrm{sin}2\mathrm{\theta }\right)\\ ={\mathrm{cos}}^{–1}\left\{\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\theta }\right)\right\}\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }-\mathrm{1}<\mathrm{x}<\mathrm{1},\mathrm{then}\\ \mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }\\ ⇒ -\mathrm{1}<\mathrm{tan\theta }<1\\ ⇒ \mathrm{ }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}<\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ ⇒ \mathrm{ }-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ ⇒ \frac{\mathrm{\pi }}{2}>-2\mathrm{\theta }>-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ ⇒ \mathrm{\pi }>\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\theta }>0\\ ⇒ 0<\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\theta }<\mathrm{\pi }\\ \therefore \mathrm{y}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\theta }\\ =\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\left[âˆµ\mathrm{x}=\mathrm{tan\theta }⇒\mathrm{\theta }={\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{tan}}^{-1}\mathrm{x}\\ =0-2×\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}}^{–1}\left(\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\right)\\ =-\frac{2}{1+{\mathrm{x}}^{2}}.\end{array}$

Q.59

$\text{Find}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{following}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\mathrm{y}={\mathrm{sin}}^{–1}\left(\mathbf{2}\mathbf{x}\sqrt{1-{\mathbf{x}}^{2}}\right), \mathrm{ }-\frac{1}{\sqrt{2}}<\mathbf{x}<\frac{1}{\sqrt{2}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{We}â€‹â€‹\mathrm{have}\mathrm{y}={\mathrm{sin}}^{–1}\left(2\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}\right), \mathrm{ }-\frac{1}{\sqrt{2}}< \mathrm{x}<\mathrm{ }\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{Putting}\mathrm{x}=\mathrm{sin\theta },\mathrm{â€‹}\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{y}={\mathrm{sin}}^{–1}\left(2\mathrm{sin\theta }\sqrt{1-{\mathrm{sin}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\theta }}\right)\\ ={\mathrm{sin}}^{–1}\left(2\mathrm{sin\theta cos\theta }\right)\\ ={\mathrm{sin}}^{–1}\left(\mathrm{sin}2\mathrm{\theta }\right)\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }-\frac{1}{\sqrt{2}}< \mathrm{x}<\mathrm{ }\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{2}},\mathrm{then}\\ \mathrm{x}=\mathrm{sin\theta }\\ ⇒ \mathrm{ }-\frac{1}{\sqrt{2}}<\mathrm{sin\theta }<\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{2}}\\ ⇒ \mathrm{ }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}<\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ ⇒ \mathrm{ }-\frac{\mathrm{\pi }}{2}<2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \therefore \mathrm{y}=2\mathrm{\theta }\\ =2{\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}\left[\mathrm{x}=\mathrm{sin\theta }⇒\mathrm{\theta }={\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(2{\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}\right)\\ =\frac{2}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}}\\ \mathrm{Thus},\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{{\mathrm{sin}}^{-1}\left(2\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}\right)\right\}=\frac{2}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}}\end{array}$

Q.60

Find dy/dx in the following

${\text{y = sec}}^{–1}\left(\frac{1}{\mathbf{2}{\mathrm{x}}^{2}-\mathbf{1}}\right), \mathrm{ }\mathbf{0}<\mathbf{x}<\frac{1}{\sqrt{2}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{We}\mathrm{have}\\ \mathrm{y}={\mathrm{sec}}^{–1}\left(\frac{\mathrm{1}}{2{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}–1}\right), 0<\mathrm{x}<\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\\ \mathrm{ }={\mathrm{cos}}^{-1}\left(2{\mathrm{x}}^{2}-1\right)\\ \mathrm{Putting}\mathrm{x}=\mathrm{cos\theta }, â€‹\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{y}={\mathrm{cos}}^{-1}\left(2{\mathrm{cos}}^{2}\mathrm{\theta }-1\right)\\ ={\mathrm{cos}}^{-1}\left(\mathrm{cos}2\mathrm{\theta }\right)\\ \mathrm{Since},\mathrm{ }0<\mathrm{ }\mathrm{x} <\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\\ ⇒ 0<\mathrm{ }\mathrm{cos\theta } \mathrm{<}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\left[âˆµ\mathrm{x}=\mathrm{cos\theta }\right]\\ ⇒ \frac{3\mathrm{\pi }}{2}<\mathrm{\theta }<\frac{7\mathrm{\pi }}{4}\\ ⇒ 0<\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ ⇒ 0<2\mathrm{\theta }<\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \therefore \mathrm{y}=2\mathrm{\theta }\\ \mathrm{ }=2{\mathrm{cos}}^{-1}\mathrm{x}\left[âˆµ\mathrm{x}=\mathrm{cos\theta }⇒\mathrm{\theta }={\mathrm{cos}}^{-1}\mathrm{x}\right]\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}}^{-1}\mathrm{x}\\ =2\left(-\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}}\right)\\ =-\frac{2}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}}\\ \mathrm{Thus},\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{sec}}^{–1}\left(\frac{\mathrm{1}}{2{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}–1}\right)=-\frac{2}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}}.\end{array}$

Q.61

$\mathbf{\text{Differentiate}}\text{}\mathbf{\text{the}}\text{}\mathbf{\text{following}}\text{}\mathbf{\text{w}}\text{.}\mathbf{\text{r}}\text{.}\mathbf{\text{t}}\text{.}\mathbf{\text{x}}\text{:}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{sinx}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{sinx}}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{sinx}}\\ =\frac{\mathrm{sinx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}}{{\left(\mathrm{sinx}\right)}^{2}}\left[\mathrm{By}\mathrm{Quotient}\mathrm{Rule}\right]\\ =\frac{\mathrm{sinx}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}}{{\left(\mathrm{sinx}\right)}^{2}}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}\right)}{{\mathrm{sin}}^{2}\mathrm{x}}, \mathrm{x}\ne \mathrm{n\pi }, \mathrm{n}\in \mathbf{Z}\end{array}$

Q.62

$\mathbf{D}\mathbf{i}\mathbf{f}\mathbf{f}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{e}\text{}\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{e}\text{}\mathbf{f}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{w}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{g}\text{}\mathbf{w}.\mathbf{r}.\mathbf{t}.\text{}\mathbf{x}:{e}^{si{n}^{-1}x}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{{\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}}\\ ={\mathrm{e}}^{{\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}\left[\mathrm{By}\mathrm{Chain}\mathrm{Rule}\right]\\ ={\mathrm{e}}^{{\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}}×\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{sin}}^{-1}\mathrm{x}}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2}}}, \mathrm{x}\in \left(-1,1\right)\\ \end{array}$

Q.63

$Differentiate\text{}the\text{}following\text{}w.r.t.\text{}x:\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}{e}^{{x}^{3}}$

Ans.

$Let y= e x 3 Differentiating both sides w.r.t. x, we get dy dx = d dx e x 3 = e x 3 d dx x 3 By Chain Rule = e x 3 ×3 x 2 =3 x 2 .e x 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbwvMCKf MBHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8MrFz0xbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8 qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9 q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaaiaacaGaaeqabaWaaqaafaaakq aabeqaaiaabYeacaqGLbGaaeiDaiaabccacaqG5bGaeyypa0Jaaeyz amaaCaaaleqabaacbeGaa8hEamaaCaaameqabaGaa83maaaaaaaake aacaqGebGaaeyAaiaabAgacaqGMbGaaeyzaiaabkhacaqGLbGaaeOB aiaabshacaqGPbGaaeyyaiaabshacaqGPbGaaeOBaiaabEgacaqGGa GaaeOyaiaab+gacaqG0bGaaeiAaiaabccacaqGZbGaaeyAaiaabsga caqGLbGaae4CaiaabccacaqG3bGaaeOlaiaabkhacaqGUaGaaeiDai aab6cacaqGGaGaaeiEaiaabYcacaqGGaGaae4DaiaabwgacaqGGaGa ae4zaiaabwgacaqG0baabaGaaGPaVlaaykW7caaMc8+aaSaaaeaaca WGKbGaamyEaaqaaiaadsgacaWG4baaaiabg2da9maalaaabaGaamiz aaqaaiaadsgacaWG4baaaiaabwgadaahaaWcbeqaaiaa=Hhadaahaa adbeqaaiaa=ndaaaaaaaGcbaGaaCzcaiabg2da9iaabwgadaahaaWc beqaaiaa=Hhadaahaaadbeqaaiaa=ndaaaaaaOWaaSaaaeaacaWGKb aabaGaamizaiaadIhaaaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaG4maaaakiaa xMaacaaMc8UaaGPaVlaaykW7caaMc8UaaGPaVlaaykW7caaMc8UaaG PaVlaaykW7daWadaqaaiaabkeacaqG5bGaaeiiaiaaboeacaqGObGa aeyyaiaabMgacaqGUbGaaeiiaiaabkfacaqG1bGaaeiBaiaabwgaai aawUfacaGLDbaaaeaacaWLjaGaeyypa0JaaeyzamaaCaaaleqabaGa a8hEamaaCaaameqabaGaa83maaaaaaGccqGHxdaTcaaIZaGaamiEam aaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaaxMaacqGH9aqpcaaIZaGaamiE amaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaab6cacaqGLbWaaWbaaSqabeaaca WF4bWaaWbaaWqabeaacaWFZaaaaaaaaaaa@AC6E@$

Q.64

$\mathbf{\text{Differentiate}}\text{}\mathbf{\text{the}}\text{}\mathbf{\text{following}}\text{}\mathbf{\text{w}}\text{.}\mathbf{\text{r}}\text{.}\mathbf{\text{t}}\text{.}\mathbf{\text{x}}\text{: sin}{\text{(tan}}^{–1}{\mathrm{e}}^{–\mathrm{x}}\right)$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\mathrm{sin}\left({\mathrm{tan}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sin}\left({\mathrm{tan}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\\ =\mathrm{cos}\left({\mathrm{tan}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{tan}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\left[\mathrm{By}\mathrm{Chain}\mathrm{Rule}\right]\\ =\mathrm{cos}\left({\mathrm{tan}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)×\frac{1}{1+{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^{2}}×\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\\ =\frac{\mathrm{cos}\left({\mathrm{tan}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}{1+{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^{2}}×{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(-\mathrm{x}\right)\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{cos}\left({\mathrm{tan}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}{1+{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^{2}}×\left(-1\right)\\ =-\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{cos}\left({\mathrm{tan}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}{1+{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}}\end{array}$

Q.65

$\mathbf{\text{Differentiate}}\text{}\mathbf{\text{the}}\text{}\mathbf{\text{following}}\text{}\mathbf{\text{w}}\text{.}\mathbf{\text{r}}\text{.}\mathbf{\text{t}}\text{.}\mathbf{\text{x}}\text{: log}{\text{(cos\hspace{0.17em}e}}^{\mathrm{x}}\right)$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\mathrm{log}\left({\mathrm{cose}}^{\mathrm{x}}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left({\mathrm{cose}}^{\mathrm{x}}\right)\\ =\frac{1}{{\mathrm{cose}}^{\mathrm{x}}}×\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{cose}}^{\mathrm{x}}\left[\mathrm{By}\mathrm{Chain}\mathrm{Rule}\right]\\ =\frac{1}{{\mathrm{cose}}^{\mathrm{x}}}×-{\mathrm{sine}}^{\mathrm{x}}×\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\\ =\frac{-{\mathrm{sine}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{cose}}^{\mathrm{x}}}×{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\\ =\frac{-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{sine}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{cose}}^{\mathrm{x}}}\\ =-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{tane}}^{\mathrm{x}}, {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\ne \left(2\mathrm{n}+1\right)\frac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{ }\mathrm{n}\in \mathrm{N}\end{array}$

Q.66

$\begin{array}{l}\mathbf{Differentiate}\mathrm{}\mathbf{the}\mathrm{}\mathbf{following}\mathrm{}\mathbf{w}.\mathbf{r}.\mathbf{t}.\mathrm{}\mathbf{x}:\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{2}}+...+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{5}}\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}...+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}}}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}...+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}}}\right)\\ =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}}}\\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{2}\right)+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{3}\right)+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{4}\right)+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{5}\right)\\ \left[\mathrm{Using}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\right]\\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+2{\mathrm{xe}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}+3{\mathrm{x}}^{2}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}}+4{\mathrm{x}}^{3}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}}}+5{\mathrm{x}}^{4}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}}}\end{array}$

Q.67

$\begin{array}{l}\mathrm{Differentiate}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{following}\mathrm{}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{}\mathrm{x}:\\ \sqrt{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}, \mathrm{x}>0\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\sqrt{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}},\mathrm{ }\mathrm{x}>0\\ \mathrm{then},\\ {\mathrm{y}}^{2}={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{y}}^{2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\right)\\ 2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\left[\mathrm{Using}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{2\mathrm{y}}.\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\\ \mathrm{ }=\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{4\sqrt{\mathrm{x}}\sqrt{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}}\\ \therefore \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{4\sqrt{{\mathrm{xe}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}}, \mathrm{x}>0\end{array}$

Q.68

$\begin{array}{l}\mathrm{Differentiate}\mathrm{}\mathrm{the}\mathrm{}\mathrm{following}\mathrm{}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{}\mathrm{x}:\\ \mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right),\mathrm{ }\mathrm{x}>1\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right),\mathrm{x}>1\\ \mathrm{Differentiating}g\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{\mathrm{logx}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{logx}\right)\left[\mathrm{Using}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{\mathrm{logx}}.\frac{1}{\mathrm{x}}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{\mathrm{xlogx}}, \mathrm{ }\mathrm{x}>1\end{array}$

Q.69

$\begin{array}{l}\mathbf{Differentiate}\mathrm{}\mathbf{the}\mathrm{}\mathbf{following}\mathrm{}\mathbf{w}.\mathbf{r}.\mathbf{t}.\mathrm{}\mathbf{x}:\\ \frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{logx}},\mathrm{ }\mathbf{x}>\mathbf{0}\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{logx}},\mathrm{x}>0\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{logx}}\right)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{logx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}-\mathrm{cosx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}}{{\left(\mathrm{logx}\right)}^{2}}\left[\mathrm{By} \mathrm{Quotient}\mathrm{ }\mathrm{Rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{logx}×-\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}×\frac{1}{\mathrm{x}}}{{\left(\mathrm{logx}\right)}^{2}}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\left(\mathrm{xlogx}.\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\right)}{\mathrm{x}{\left(\mathrm{logx}\right)}^{2}}, \mathrm{ }\mathrm{x}>0\end{array}$

Q.70

$\begin{array}{l}Differentiate\text{}the\text{}following\text{}w.r.t.\text{}x:\\ \text{}\text{}cos\left(logx+{e}^{x}\right),\text{\hspace{0.17em}}x>0\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}Let\text{y}=\mathrm{cos}\left(\mathrm{log}x+{e}^{x}\right),x>0\\ Differentiating\text{both sides w}\text{.r}\text{.t}\text{. x, we get}\\ \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}\mathrm{cos}\left(\mathrm{log}x+{e}^{x}\right)\\ \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{dy}{dx}=-\mathrm{sin}\left(\mathrm{log}x+{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}\left(\mathrm{log}x+{e}^{x}\right)\text{}\text{}\left[\text{Using}\text{\hspace{0.17em}}chain\text{rule}\right]\\ \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{dy}{dx}=-\mathrm{sin}\left(\mathrm{log}x+{e}^{x}\right)\left(\frac{1}{x}+{e}^{x}\right)\\ \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{1}{x}+{e}^{x}\right).\mathrm{sin}\left(\mathrm{log}x+{e}^{x}\right),\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}x>0\end{array}$

Q.71

Differentiate the function given with respect to x.
cosx.cos2x.cos3x

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{y}=\mathrm{cosx}.\mathrm{cos}2\mathrm{x}.\mathrm{cos}3\mathrm{x}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\mathrm{logy}=\mathrm{log}\left(\mathrm{cosx}.\mathrm{cos}2\mathrm{x}.\mathrm{cos}3\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{ }=\mathrm{logcosx}+\mathrm{logcos}2\mathrm{x}+\mathrm{logcos}3\mathrm{x}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logy}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logcosx}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logcos}2\mathrm{x}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logcos}3\mathrm{x}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \mathrm{ }=\frac{1}{\mathrm{cosx}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}+\frac{1}{\mathrm{cos}2\mathrm{x}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cos}2\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{cos}3\mathrm{x}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cos}3\mathrm{x}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} =\frac{1}{\mathrm{cosx}}×-\mathrm{sinx}+\frac{1}{\mathrm{cos}2\mathrm{x}}×-\mathrm{sin}2\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}2\mathrm{x}\\ +\frac{1}{\mathrm{cos}3\mathrm{x}}×-\mathrm{sin}3\mathrm{x}×\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}3\mathrm{x}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} =-\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}-\frac{\mathrm{sin}2\mathrm{x}}{\mathrm{cos}2\mathrm{x}}×2-\frac{\mathrm{sin}3\mathrm{x}}{\mathrm{cos}3\mathrm{x}}×3\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \mathrm{ }=-\mathrm{y}\left(\mathrm{tanx}+2\mathrm{tan}2\mathrm{x}+3\mathrm{tan}3\mathrm{x}\right)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \mathrm{ }=-\mathrm{cosx}.\mathrm{cos}2\mathrm{x}.\mathrm{cos}3\mathrm{x}\left(\mathrm{tanx}+2\mathrm{tan}2\mathrm{x}+3\mathrm{tan}3\mathrm{x}\right)\end{array}$

Q.72

Differentiate the function given with respect to x.

$\sqrt{\frac{\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-4\right)\left(\mathrm{x}-5\right)}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let} \mathrm{ }\mathrm{y}=\sqrt{\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{5}\right)}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{logy}=\mathrm{log}\sqrt{\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{5}\right)}}\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{logy}=\frac{1}{2}\mathrm{log}\left\{\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{5}\right)}\right\}\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{logy}=\frac{1}{2}\left\{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-1\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-2\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-3\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-4\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-5\right)\right\}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathrm{logy}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-1\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-2\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-3\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-4\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{x}-5\right)\right\}\\ \mathrm{ }\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}-1\right)+\frac{1}{\mathrm{x}-2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}-2\right)-\frac{1}{\mathrm{x}-3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}-3\right)\\ -\frac{1}{\mathrm{x}-4}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}-4\right)-\frac{1}{\mathrm{x}-5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}-5\right)\end{array}\right) \\ \left[\mathrm{By}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{x}-1}×1+\frac{1}{\mathrm{x}-2}×1-\frac{1}{\mathrm{x}-3}×1-\frac{1}{\mathrm{x}-4}×1-\frac{1}{\mathrm{x}-5}×1\right)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2}\mathrm{y}\left(\frac{1}{\mathrm{x}-1}+\frac{1}{\mathrm{x}-2}-\frac{1}{\mathrm{x}-3}-\frac{1}{\mathrm{x}-4}-\frac{1}{\mathrm{x}-5}\right)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{5}\right)}}\left(\frac{1}{\mathrm{x}-1}+\frac{1}{\mathrm{x}-2}-\frac{1}{\mathrm{x}-3}-\frac{1}{\mathrm{x}-4}-\frac{1}{\mathrm{x}-5}\right)\end{array}$

Q.73

Differentiate the function given with respect to x.

${\text{(logx)}}^{\mathrm{cosx}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{y}={\left(\mathrm{logx}\right)}^{\mathrm{cosx}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\mathrm{logy}=\mathrm{cosx}.\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logy}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{cosx}.\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{cosx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}\left[\mathrm{By}\mathrm{product}\mathrm{rule}\right]\\ \frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{cosx}.\frac{1}{\mathrm{logx}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right).\left(-\mathrm{sinx}\right)\left[\mathrm{By}\mathrm{Chain}\mathrm{rule}\right]\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}\left\{\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{logx}}×\frac{1}{\mathrm{x}}-\mathrm{sinx}.\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}\\ \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{logx}\right)}^{\mathrm{cosx}}\left\{\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{xlogx}}-\mathrm{sinx}.\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}\end{array}$

Q.74

Differentiate the function given with respect to x.

${\text{x}}^{\mathrm{x}}–{2}^{\mathrm{sinx}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{y}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{2}}^{\mathrm{sinx}}\\ ={\mathrm{y}}_{1}+{\mathrm{y}}_{2}\\ \mathrm{So}, {\mathrm{y}}_{1}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{log}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}\right)\\ =\mathrm{xlogx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{1}}\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\\ \mathrm{ }=\mathrm{x}.\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}.1\\ \mathrm{ }=1+\mathrm{logx}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{1}\left(1+\mathrm{logx}\right)\\ \mathrm{ }={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}\left(1+\mathrm{logx}\right)\\ \mathrm{Now}, \mathrm{ }{\mathrm{y}}_{2}={2}^{\mathrm{sinx}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{log}\left({2}^{\mathrm{sinx}}\right)\\ =\mathrm{sinx}.\mathrm{log}2\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{2}}\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{log}2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}\\ \mathrm{ }=\mathrm{log}2.\mathrm{cosx}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{2}\left(\mathrm{log}2.\mathrm{cosx}\right)\\ \mathrm{ }={2}^{\mathrm{sinx}}\mathrm{cosx}.\mathrm{log}2\\ \mathrm{Thus},\mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}-\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}\\ ={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}\left(1+\mathrm{logx}\right)-{2}^{\mathrm{sinx}}\mathrm{cosx}.\mathrm{log}2\end{array}$

Q.75

Differentiate the function given with respect to x.

${\text{(x+3)}}^{2}.{\left(\mathrm{x}+4\right)}^{3}.{\left(\mathrm{x}+5\right)}^{4}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{y}={\left(\mathrm{x}+3\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+4\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+5\right)}^{\mathrm{4}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\mathrm{logy}=\mathrm{log}\left\{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+4\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+5\right)}^{\mathrm{4}}\right\}\\ \mathrm{ }=2\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+3\right)+3\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+4\right)+4\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+5\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logy}=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+3\right)+3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+4\right)+4\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+5\right)\\ \frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2×\frac{1}{\mathrm{x}+3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}+3\right)+3×\frac{1}{\mathrm{x}+4}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}+4\right)+4×\frac{1}{\mathrm{x}+5}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}+5\right)\\ \mathrm{ }=\frac{2}{\mathrm{x}+3}×1+\frac{3}{\mathrm{x}+4}×1+\frac{4}{\mathrm{x}+5}×1\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}\left(\frac{2}{\mathrm{x}+3}+\frac{3}{\mathrm{x}+4}+\frac{4}{\mathrm{x}+5}\right)\\ \mathrm{ }={\left(\mathrm{x}+3\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+4\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+5\right)}^{\mathrm{4}}\left(\frac{2}{\mathrm{x}+3}+\frac{3}{\mathrm{x}+4}+\frac{4}{\mathrm{x}+5}\right)\\ \mathrm{ }={\left(\mathrm{x}+3\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+4\right)}^{\mathrm{3}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+5\right)}^{\mathrm{4}}\left(\frac{2\left(\mathrm{x}+4\right)\left(\mathrm{x}+5\right)+3\left(\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}+5\right)+4\left(\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}+4\right)}{\left(\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}+4\right)\left(\mathrm{x}+5\right)}\right)\\ \mathrm{ }=\left(\mathrm{x}+3\right)\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+4\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+5\right)}^{\mathrm{3}}\left\{\begin{array}{l}2\left({\mathrm{x}}^{2}+9\mathrm{x}+20\right)+3\left({\mathrm{x}}^{2}+8\mathrm{x}+15\right)\\ +\mathrm{ }4\left({\mathrm{x}}^{2}+7\mathrm{x}+12\right)\end{array}\right\}\\ \mathrm{ }=\left(\mathrm{x}+3\right)\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+4\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+5\right)}^{\mathrm{3}}\left\{\begin{array}{l}2{\mathrm{x}}^{2}+18\mathrm{x}+40+3{\mathrm{x}}^{2}+24\mathrm{x}\\ +45+4{\mathrm{x}}^{2}+28\mathrm{x}+48\end{array}\right\}\\ \therefore \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\left(\mathrm{x}+3\right)\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+4\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{.}{\left(\mathrm{x}+5\right)}^{\mathrm{3}}\left(9{\mathrm{x}}^{2}+70\mathrm{x}+133\right)\end{array}$

Q.76

Differentiate the function given with respect to x.

${\text{(x+}\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{x}}^{\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{y}={\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{x}}^{\left(1+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}\\ ={\mathrm{y}}_{1}+{\mathrm{y}}_{2}\\ \mathrm{So}, {\mathrm{y}}_{1}={\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{xlog}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{xlog}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right\}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}.\frac{1}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)×1\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{1}\left\{\frac{{\mathrm{x}}^{2}}{{\mathrm{x}}^{2}+1}×\left(1-\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{{\mathrm{x}}^{2}}{{\mathrm{x}}^{2}+1}×\left(\frac{{\mathrm{x}}^{2}-1}{{\mathrm{x}}^{2}}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{{\mathrm{x}}^{2}-1}{{\mathrm{x}}^{2}+1}+\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right\}\\ \mathrm{Now}, \mathrm{ }{\mathrm{y}}_{2}={\mathrm{x}}^{\left(1+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{2}=\left(1+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{logx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{logx}\right\}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{2}}\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right) \left[\mathrm{By}\mathrm{â€‹}\mathrm{product}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{2}\left\{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}\mathrm{.}\left(\mathrm{0}-\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{ }\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^{\left(1+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}\left\{\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}}-\frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{logx}\mathrm{ }\right\}\\ ={\mathrm{x}}^{\left(1+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}\left\{\frac{\mathrm{x}+1-\mathrm{logx}}{{\mathrm{x}}^{2}}\mathrm{ }\right\}\\ \mathrm{Thus},\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}\\ ={\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{{\mathrm{x}}^{2}-1}{{\mathrm{x}}^{2}+1}+\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right\}+{\mathrm{x}}^{\left(1+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}\left\{\frac{\mathrm{x}+1-\mathrm{logx}}{{\mathrm{x}}^{2}}\mathrm{ }\right\}\end{array}$

Q.77

Differentiate the function given with respect to x.

${\text{(logx)}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{logx}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{y}={\left(\mathrm{logx}\right)}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{logx}}\\ ={\mathrm{y}}_{1}+{\mathrm{y}}_{2}\\ \mathrm{So}, {\mathrm{y}}_{1}={\left(\mathrm{logx}\right)}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{x}.\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{x}.\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\left[\mathrm{By}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}.\frac{1}{\mathrm{logx}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)×1\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{1}\left\{\mathrm{x}.\frac{1}{\mathrm{logx}}\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{logx}\right)}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{1}{\mathrm{logx}}+\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{logx}\right)}^{\mathrm{x}-1}\left\{1+\mathrm{logx}.\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}\\ \mathrm{Now}, \mathrm{ }{\mathrm{y}}_{2}={\mathrm{x}}^{\mathrm{logx}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{logx}.\mathrm{logx}\\ \mathrm{ }={\left(\mathrm{logx}\right)}^{2}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{logx}\right)}^{2}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{2}}\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=2\mathrm{logx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}\left[\mathrm{By}\mathrm{Chain}\mathrm{Rule}\right]\\ \mathrm{ }=2\mathrm{logx}×\frac{1}{\mathrm{x}}\\ \frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=\frac{2{\mathrm{y}}_{2}}{\mathrm{x}}\mathrm{logx}\\ \mathrm{ }=\frac{2{\mathrm{x}}^{\mathrm{logx}}}{\mathrm{x}}\mathrm{logx}\\ \mathrm{ }=2{\mathrm{x}}^{\mathrm{logx}-1}\mathrm{logx}\\ \mathrm{Hence},\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}\\ \mathrm{ }={\left(\mathrm{logx}\right)}^{\mathrm{x}-1}\left\{1+\mathrm{logx}.\mathrm{log}\left(\mathrm{logx}\right)\right\}+2{\mathrm{x}}^{\mathrm{logx}-1}\mathrm{logx}\end{array}$

Q.78

Differentiate the function given with respect to x.

${\text{(sinx)}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{sin}}^{–1}\sqrt{\mathrm{x}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{y}={\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{sin}}^{–1}\sqrt{\mathrm{x}}\\ \mathrm{ } ={\mathrm{y}}_{1}+{\mathrm{y}}_{2}\\ \mathrm{So}, {\mathrm{y}}_{1}={\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{x}.\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{x}.\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)\right\}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\left[\mathrm{By}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}.\frac{1}{\mathrm{sinx}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}+\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)×1\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{1}\left\{\mathrm{x}.\frac{1}{\mathrm{sinx}}\mathrm{cosx}+\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{x}}\left\{\mathrm{x}\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}+\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{x}}\left\{\mathrm{xcotx}+\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)\right\}\\ \mathrm{Now}, \mathrm{ }{\mathrm{y}}_{2}={\mathrm{sin}}^{–1}\sqrt{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{sin}}^{–1}\sqrt{\mathrm{x}}\\ \frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}^{2}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\sqrt{\mathrm{x}}\left[\mathrm{By}\mathrm{Chain}\mathrm{Rule}\right]\\ \mathrm{ }=\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{x}}}×\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\\ \frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^{2}}}\\ \mathrm{Hence},\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}\\ \mathrm{ }={\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{x}}\left\{\mathrm{xcotx}+\mathrm{log}\left(\mathrm{sinx}\right)\right\}+\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^{2}}}\end{array}$

Q.79

Differentiate the function given with respect to x.

${\text{x}}^{\mathrm{sinx}}+{\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{cosx}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{ }\mathrm{y}={\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\mathrm{+}{\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{cosx}}\\ \mathrm{ } ={\mathrm{y}}_{1}+{\mathrm{y}}_{2}\\ \mathrm{So}, {\mathrm{y}}_{1}={\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{sinx}.\mathrm{logx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{sinx}.\mathrm{logx}\right\}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{sinx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}\left[\mathrm{By}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{sinx}.\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}×\mathrm{cosx}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{1}\left\{\mathrm{sinx}.\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}×\mathrm{cosx}\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\left\{\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}+\mathrm{cosx}.\mathrm{logx}\right\}\\ \mathrm{Now}, {\mathrm{y}}_{2}={\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{cosx}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{cosx}.\mathrm{logsinx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{cosx}.\mathrm{logsinx}\right)\\ \mathrm{ }\frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{2}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{cosx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logsinx}+\mathrm{logsinx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}\left[\mathrm{By}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{2}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{cosx}.\frac{1}{\mathrm{sinx}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}+\mathrm{logsinx}×-\mathrm{sinx}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{cosx}}\left(\mathrm{cosx}.\frac{1}{\mathrm{sinx}}.\mathrm{cosx}-\mathrm{sinx}.\mathrm{logsinx}\right)\\ ={\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{cosx}}\left(\mathrm{cotx}.\mathrm{cosx}-\mathrm{sinx}.\mathrm{logsinx}\right)\\ \therefore \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}\\ ={\mathrm{x}}^{\mathrm{sinx}}\left(\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}+\mathrm{cosx}.\mathrm{logx}\right)+{\left(\mathrm{sinx}\right)}^{\mathrm{cosx}}\left(\mathrm{cosx}.\mathrm{cotx}-\mathrm{sinx}.\mathrm{logsinx}\right)\end{array}$

Q.80

Differentiate the function given with respect to x.

${\mathbf{\text{x}}}^{\mathrm{xcosx}}+\frac{{\mathrm{x}}^{2}+1}{{\mathrm{x}}^{2}–1}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let} \mathrm{y}={\mathrm{x}}^{\mathrm{xcosx}}+\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\\ ={\mathrm{y}}_{1}+{\mathrm{y}}_{2}\\ \mathrm{So}, {\mathrm{y}}_{1}={\mathrm{x}}^{\mathrm{xcosx}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{xcosx}.\mathrm{logx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\mathrm{xcosx}.\mathrm{logx}\right\}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{xcosx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{xcosx}\right) \\ \mathrm{ }\left[\mathrm{By}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{xcosx}.\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}\left(\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}+\mathrm{cosx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\\ \left[\mathrm{By}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{1}\left\{\mathrm{cosx}+\mathrm{logx}\left(-\mathrm{xsinx}+\mathrm{cosx}\right)\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{xcosx}}\left\{\mathrm{cosx}-\mathrm{xsinxlogx}+\mathrm{logx}.\mathrm{cosx}\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{xcosx}}\left\{\mathrm{cosx}\left(1+\mathrm{logx}\right)-\mathrm{xsinxlogx}\right\}\\ \mathrm{Now}, \\ {\mathrm{y}}_{2}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-1}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ {\mathrm{logy}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{log}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+1\right)-\mathrm{log}\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-1\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{1}{{\mathrm{y}}_{2}}\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}+1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)-\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^{2}-1\right)\left[\mathrm{By}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{2}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}+1}×2\mathrm{x}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}-1}×2\mathrm{x}\right)\\ \mathrm{ }=2\mathrm{x}\left(\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-1}\right)\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}+1}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}-1}\right)\\ =2\mathrm{x}\left(\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-1}\right)\left(\frac{\left({\mathrm{x}}^{2}-1\right)-\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)}{\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)\left(\left({\mathrm{x}}^{2}-1\right)\right)}\right)\\ =2\mathrm{x}\left(\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}+1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-1}\right)\left\{\frac{{\mathrm{x}}^{2}-1-{\mathrm{x}}^{2}-1}{\left({\mathrm{x}}^{2}+1\right)\left({\mathrm{x}}^{2}-1\right)}\right\}\\ =2\mathrm{x}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}-1}\right)\left\{\frac{-2}{\left({\mathrm{x}}^{2}-1\right)}\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=\frac{-4\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^{2}-1\right)}^{2}}\\ \mathrm{Thus},\mathrm{}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}\\ ={\mathrm{x}}^{\mathrm{xcosx}}\left\{\mathrm{cosx}\left(1+\mathrm{logx}\right)-\mathrm{xsinxlogx}\right\}-\frac{4\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^{2}-1\right)}^{2}}\end{array}$

Q.81

$\text{Differentiate the function given with respect to x.}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}{\text{(xcosx)}}^{\mathrm{x}}+{\left(\mathrm{xsinx}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{x}}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}â€‹ \mathrm{y}={\left(\mathrm{xcosx}\right)}^{\mathrm{x}}+{\left(\mathrm{xsinx}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\\ ={\mathrm{y}}_{1}+{\mathrm{y}}_{2}\\ \mathrm{So}, {\mathrm{y}}_{1}={\left(\mathrm{xcosx}\right)}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{xlog}\left(\mathrm{xcosx}\right)\\ =\mathrm{xlogx}+\mathrm{xlogcosx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}{\mathrm{logy}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}.\mathrm{logx}+\mathrm{x}.\mathrm{logcosx}\right)\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}.\mathrm{logx}\right)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}.\mathrm{logcosx}\right)\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}+\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logcosx}+\mathrm{logcosx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\\ \mathrm{ }\left[\mathrm{By}\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{1}\left(\mathrm{x}.\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}+\mathrm{x}\frac{1}{\mathrm{cosx}}.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}+\mathrm{logcosx}\right)\\ \frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{xcosx}\right)}^{\mathrm{x}}\left(1+\mathrm{logx}+\mathrm{x}\frac{1}{\mathrm{cosx}}×-\mathrm{sinx}+\mathrm{logcosx}\right)\\ \mathrm{ }={\left(\mathrm{xcosx}\right)}^{\mathrm{x}}\left(1+\mathrm{logx}-\mathrm{x}\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}+\mathrm{logcosx}\right)\\ \frac{{\mathrm{dy}}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{xcosx}\right)}^{\mathrm{x}}\left(1+\mathrm{logx}-\mathrm{xtanx}+\mathrm{logcosx}\right)\\ \mathrm{Now}, \\ {\mathrm{y}}_{2}={\left(\mathrm{xsinx}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }{\mathrm{logy}}_{\mathrm{2}}=\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{log}\left(\mathrm{xsinx}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{1}{{\mathrm{y}}_{2}}\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{\mathrm{x}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{log}\left(\mathrm{xsinx}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{xsinx}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}.\frac{1}{\mathrm{x}}\left[\mathrm{By}\mathrm{product}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}_{2}\left\{\frac{1}{\mathrm{x}}\left(\frac{1}{\mathrm{xsinx}}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{xsinx}\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{xsinx}\right).\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}}\right\}\left[\mathrm{By}\mathrm{chain}\mathrm{rule}\right]\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{xsinx}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\left\{\frac{1}{\mathrm{x}}\left(\frac{1}{\mathrm{xsinx}}\right)\left(\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{sinx}+\mathrm{sinx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{xsinx}\right).\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}}\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{xsinx}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\left\{\frac{1}{\mathrm{x}}\left(\frac{1}{\mathrm{xsinx}}\right)\left(\mathrm{x}.\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{xsinx}\right).\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}}\right\}\\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{xsinx}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\left\{\left(\frac{\mathrm{x}.\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}}{{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sinx}}\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{xsinx}\right).\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}}\right\}\\ \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{{\mathrm{dy}}_{1}}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{dy}}_{2}}{\mathrm{dx}}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\left(\mathrm{xcosx}\right)}^{\mathrm{x}}\left(1+\mathrm{logx}-\mathrm{xtanx}+\mathrm{logcosx}\right)\\ +{\left(\mathrm{xsinx}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\left\{\left(\frac{\mathrm{x}.\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}}{{\mathrm{x}}^{2}\mathrm{sinx}}\right)-\mathrm{log}\left(\mathrm{xsinx}\right).\frac{1}{{\mathrm{x}}^{2}}\right\}\end{array}$

Q.82

$\text{Findâ€„}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}{\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}=$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{1}\\ \mathrm{Let}\mathrm{u}={\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}\mathrm{and}\mathrm{v}={\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Then},\mathrm{function}\mathrm{becomes}\\ \mathrm{ }\mathrm{u}+\mathrm{v}=1\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=0...\left(\mathrm{i}\right)\\ \mathrm{Since}, \mathrm{ }\mathrm{u}={\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{log}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{logu}={\mathrm{logx}}^{\mathrm{y}}\\ \mathrm{logu}=\mathrm{ylogx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logu}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{ylogx}\\ \frac{1}{\mathrm{u}}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ =\mathrm{y}×\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{u}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)\\ \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right) \mathrm{ }...\left(\mathrm{ii}\right)\\ \mathrm{And} \mathrm{ }\mathrm{v}={\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{log}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{logv}={\mathrm{logy}}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{logv}=\mathrm{xlogy}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logv}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{xlogy}\\ \frac{1}{\mathrm{v}}\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logy}+\mathrm{logy}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\\ \mathrm{ }=\mathrm{x}×\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{logy}\left(1\right)\\ \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{v}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{logy}\right)\\ \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{logy}\right)...\left(\mathrm{iii}\right)\\ \mathrm{From}\mathrm{equatin}\left(\mathrm{i}\right),\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{and}\left(\mathrm{iii}\right),\mathrm{we}\mathrm{have}\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)+{\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{logy}\right)=0\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{y}-1}\mathrm{y}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}\mathrm{logx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+{\mathrm{yx}}^{-1}\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}\mathrm{logy}=0\\ \left({\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}\mathrm{logx}+{\mathrm{yx}}^{-1}\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-{\mathrm{x}}^{\mathrm{y}-1}\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}\mathrm{logy}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{{\mathrm{yx}}^{\mathrm{y}-1}+{\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}\mathrm{logy}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}\mathrm{logx}+{{\mathrm{xy}}^{\mathrm{x}}}^{-1}}\end{array}$

Q.83

$\text{Findâ€„}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}:\mathrm{â€„}{\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}{\mathrm{y}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{y}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ {\mathrm{logy}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{logx}}^{\mathrm{y}}\\ \mathrm{xlogy}=\mathrm{ylogx}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logy}+\mathrm{logy}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}=\mathrm{y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{y}\left[\mathrm{By}\mathrm{ }\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{logy}×1=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\mathrm{logx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{logx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}-\mathrm{logy}\\ \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}-\mathrm{logx}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}-\mathrm{logy}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}-\mathrm{logy}\right)}{\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}-\mathrm{logx}\right)}\\ \mathrm{ }=\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{y}-\mathrm{xlogy}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-\mathrm{ylogx}\right)}\end{array}$

Q.84

$\mathrm{Find}\mathrm{â€„}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}:\mathrm{â€„}{\left(\mathrm{cosx}\right)}^{\mathrm{y}}\mathrm{â€„}=\mathrm{â€„}{\left(\mathrm{cosy}\right)}^{\mathrm{x}}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}{\left(\mathrm{cosx}\right)}^{\mathrm{y}}={\left(\mathrm{cosy}\right)}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{log}{\left(\mathrm{cosx}\right)}^{\mathrm{y}}=\mathrm{log}{\left(\mathrm{cosy}\right)}^{\mathrm{x}}\\ \mathrm{ylogcosx}=\mathrm{xlogcosy}\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{y}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logcosx}+\mathrm{logcosx}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{y}=\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logcosy}+\mathrm{logcosy}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}\left[\mathrm{By}\mathrm{ }\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ \mathrm{y}×\frac{1}{\mathrm{cosx}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosx}+\mathrm{logcosx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}×\frac{1}{\mathrm{cosy}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{cosy}+\mathrm{logcosy}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{cosx}}×-\mathrm{sinx}+\mathrm{logcosx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{cosy}}×-\mathrm{siny}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{logcosy}\\ \mathrm{ }\frac{-\mathrm{ysinx}}{\mathrm{cosx}}+\mathrm{logcosx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\mathrm{xsiny}}{\mathrm{cosy}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{logcosy}\\ \mathrm{ }\mathrm{logcosx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{xsiny}}{\mathrm{cosy}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{logcosy}+\frac{\mathrm{ysinx}}{\mathrm{cosx}}\\ \mathrm{ }\left(\mathrm{logcosx}+\frac{\mathrm{xsiny}}{\mathrm{cosy}}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{logcosy}+\frac{\mathrm{ysinx}}{\mathrm{cosx}}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\left(\mathrm{logcosy}+\frac{\mathrm{ysinx}}{\mathrm{cosx}}\right)}{\left(\mathrm{logcosx}+\frac{\mathrm{xsiny}}{\mathrm{cosy}}\right)}\\ \mathrm{ }=\frac{\left(\mathrm{logcosy}+\mathrm{ytanx}\right)}{\left(\mathrm{logcosx}+\mathrm{xtany}\right)}\\ \end{array}$

Q.85

$\text{Findâ€„}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}:\mathrm{xy}\mathrm{â€„}=\mathrm{â€„}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{xy}={\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{logxy}={\mathrm{loge}}^{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{logx}+\mathrm{logy}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\mathrm{loge}\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{logx}+\mathrm{logy}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)×1âˆµ\left[\mathrm{loge}=1\right]\\ ⇒ \mathrm{ }\mathrm{logx}+\mathrm{logy}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides},\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}.\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logx}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{logy}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left[\mathrm{By}\mathrm{ }\mathrm{Product}\mathrm{Rule}\right]\\ ⇒ \mathrm{ }\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=1-\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\\ ⇒ \left(1+\frac{1}{\mathrm{y}}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{ }=1-\frac{1}{\mathrm{x}}\\ ⇒ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1-\frac{1}{\mathrm{x}}}{\left(1+\frac{1}{\mathrm{y}}\right)}\\ =\frac{\left(\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}}\right)}{\left(\frac{\mathrm{y}+1}{\mathrm{y}}\right)}\\ ⇒ \mathrm{ }\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{x}-1\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{y}+1\right)}\\ \end{array}$

Q.86

$\begin{array}{l}\mathrm{Find}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{derivative}\mathrm{â€„}\mathrm{of}\mathrm{â€„}\mathrm{the}\mathrm{â€„}\mathrm{function}\mathrm{â€„}\mathrm{given}\mathrm{â€„}\mathrm{by} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)\left(1+{\mathrm{x}}^{4}\right)\left(1+{\mathrm{x}}^{8}\right)\\ \mathrm{and}\mathrm{â€„}\mathrm{hence}\mathrm{â€„}\mathrm{find}\mathrm{â€„}\mathrm{f}‘\mathrm{â€„}\left(1\right).\end{array}$

Ans.

$\begin{array}{l}\mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{relationship}\mathrm{is} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)\left(1+{\mathrm{x}}^{4}\right)\left(1+{\mathrm{x}}^{8}\right)\\ \mathrm{Taking}\mathrm{logarithm}\mathrm{on}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{sides},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \mathrm{logf}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{log}\left(1+\mathrm{x}\right)+\mathrm{log}\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)+\mathrm{log}\left(1+{\mathrm{x}}^{4}\right)+\mathrm{log}\left(1+{\mathrm{x}}^{8}\right)\\ \mathrm{Differentiating}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{with}\mathrm{respect}\mathrm{to}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get}\\ \frac{1}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{1+\mathrm{x}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(1+\mathrm{x}\right)+\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(1+{\mathrm{x}}^{2}\right)+\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{4}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(1+{\mathrm{x}}^{4}\right)\\ +\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{8}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(1+{\mathrm{x}}^{8}\right)\\ \mathrm{ }=\frac{1}{1+\mathrm{x}}\left(1\right)+\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{2}}\left(0+2\mathrm{x}\right)+\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{4}}\left(0+4{\mathrm{x}}^{3}\right)\\ +\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^{8}}\left(0+8{\mathrm{x}}^{7}\right)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\end{array}$